★知识梳理
1．函数的奇偶性的定义：
①对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 〔或 〕，则称 为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。
②对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 〔或 〕，则称 为偶函数. 偶函数的图象关于 轴对称。
③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）
1． 函数的周期性命定义：
对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得定义域内的每一个 值，都满足
，那么函数 就叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期。
★重、难点突破
重点：函数的奇偶性和周期性，函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用
难点：函数的奇偶性的判断 函数的奇偶性与单调性、函数的奇偶性与周期性的综合应用
重难点：1.函数的奇偶性的判断：可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式
,也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.注意①若 ,则 既是奇函数又是偶函数,若 ,则 是偶函数；②若 是奇函数且在 处有定义，则 ③若在函数 的定义域内有 ，则可以断定 不是偶函数，同样，若在函数 的定义域内有 ，则可以断定 不是奇函数。
2．奇偶函数图象的对称性
（1） 若 是偶函数，则 的图象关于直线 对称；
（2） 若 是偶函数，则
的图象关于点 中心对称；
3．函数的周期性 周期性不仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主要难点是抽象函数周期的发现，主要有几种情况：
（1）函数值之和等于零型，即函数
对于定义域中任意 满足 ，则有 ，故函数 的周期是
（2）函数图象有 ， 两条对称轴型
函数图象有 ， 两条对称轴，即 ，
，从而得 ，
故函数 的周期是
（3） 两个函数值之积等于 ，即函数值互为倒数或负倒数型
若 ，则得 ，所以函数 的周期是 ；同理若 ，则 的周期是
（4） 分式递推型，即函数 满足
由 得 ，进而得
，由前面的结论得 的周期是
★热点考点题型探析
考点1 判断函数的奇偶性及其应用
题型1：判断有解析式的函数的奇偶性
[例1] 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）• ；
（3） ；（4）
[思路点拨]判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。
[解析] （1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.
∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），
∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数.
（2）先确定函数的定义域.由 ≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.
（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.
由 得
故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.
从而有f（x）= = ，∴f（－x）= =－ =－f（x）
故f（x）为奇函数.
（4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0，
∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.
当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.
故函数f（x）为奇函数.
【名师指引】○1函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为D, 则 时 ) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件
○2分段函数的奇偶性一般要分段证明.③判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.
题型2：证明抽象函数的奇偶性
[例2] （09年山东梁山）定义在区间 上的函数f (x)满足：对任意的 ，
都有 .
求证f (x)为奇函数；
[思路点拨]欲证明 为奇函数，就要证明 ，但这是抽象函数，应设法充
分利用条件“对任意的 ，都有 ”中的 进行合理
“赋值”
[解析]令x = y = 0，则
f (0) + f (0) =
∴ f (0) = 0
令x∈(－1, 1) ∴－x∈(－1, 1)
∴ f (x) + f (－x) = f ( ) = f (0) = 0
∴ f (－x) =－f (x)
∴ f (x) 在(－1，1)上为奇函数
【名师指引】对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值”，而抽象函数的不等式问题，要灵活利用已知条件，尤其是f (x1) －f (x2) = f (x1) + f (－x2)
[新题导练]
1．（09广东电白一中）设函数 为奇函数，则 ___________。
[解析]0；由函数 为奇函数得到 ，即
所以
2．（高州中学09届训练题）已知函数 是定义域为 的偶函数，则 的值是（ ）
A．0；B． ；C．1；D．
[解析]B；由函数 是定义域为 的偶函数得 ，并且 ，即 ，所以 的值是0
3．定义两种运算： ， ，则
是______________函数，（填奇、偶、非奇非偶，既奇又偶四个中的一个）
[解析]奇；依 和 得
，其定义域为 ，所以
，可见， 是奇函数
4．已知函数 （a、b、c∈Z）是奇函数,又 ， ，求a、b、c的值.
[解析] ；由f（－x）=－f（x），得－bx+c=－（bx+c）.
∴c=0，由f（1）=2，得a+1=2b，由f（2）＜3，得 ＜3，
解得－1＜a＜2.又a∈Z，∴a=0或a=1.若a=0，则b= ，与b∈Z矛盾.∴a=1，b=1，c=0.
考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用
[例3] （普宁市城东中学09）已知奇函数 是定义在 上的减函数，若 ，求实数 的取值范围。
[思路点拨]欲求 的取值范围，就要建立关于 的不等式，可见，只有从
出发，所以应该利用 的奇偶性和单调性将外衣“ ”脱去。
[解析] 是定义在 上奇函数
对任意 有
由条件 得 =
是定义在 上减函数
，解得
实数 的取值范围是
【名师指引】利用函数的奇偶性可以求对称区间上的函数的表达式
[例4]设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=( ) 的单调递减区间.
[思路点拨]欲由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)求a的取值范围，就要设法利用函数f(x)的单调性。
而函数y=( ) 是一个复合函数，应该利用复合函数单调性的判定方法解决
[解析]设0<x1<x2,则－x2<－x1<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，
∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1),
∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减.
由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)得：2a2+a+1>3a2－2a+1.解之，得0<a<3.
又a2－3a+1=(a－ )2－ .
∴函数y=( ) 的单调减区间是
结合0<a<3,得函数y=( ) 的单调递减区间为［ ，3).
【名师指引】偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，而奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同。
[新题导练]
5．（普宁市城东中学09届高三模拟）若 是奇函数，且在 内是增函数，又 ，则 的解集是（ ）
A. ；B.
C. ； D.
[解析]D；因为 在 内是增函数， ，所以当 时， ；当 时， ，又因 是奇函数，其图象关于原点对称，所以当 时， ；当 时， ，可见 的解集是
6．（2007•天津改编）在 上定义的函数 是奇函数，且 ，若 在区间 是减函数，则函数 （ ）
A.在区间 上是增函数，区间 上是增函数
B.在区间 上是增函数，区间 上是减函数
C.在区间 上是减函数，区间 上是增函数
D.在区间 上是减函数，区间 上是减函数
[解析] C；由 知 的图象关于直线 对称，由 在区间 是减函数知 在区间 是增函数，又由 及 是奇函数，得到
，进而得 ，所以 是以4为周期的函数，故 在 上是减函数。
7．（普宁市城东中学09届高三模拟）定义在R上的奇函数 有最小正周期4，且 时， 。求 在 上的解析式
[解析]
⑴当 时，
又 为奇函数， ，
当 时，由 有最小正周期4，
综上，
考点3 函数奇偶性、周期性的综合应用
[例5] （09年惠州第三次调研考）已知定义在 上的偶函数 满足 对
于 恒成立，且 ，则 ________
[思路点拨]欲求 ，应该寻找 的一个起点值，发现 的周期性
[解析]由 得到 ，从而得 ，可见 是以4为周期的函数，从而 ，
又由已知等式得
又由 是 上的偶函数得
又在已知等式中令 得 ，即
所以
【名师指引】近年将函数的奇偶性、周期性综合在一起考查逐步成为一个热点，解决问题的关键是发现函数的周期性（奇偶性）。
[新题导练]
8．（执信中学09届训练题）设 是定义在 上的正值函数,且满足
.若 是周期函数,则它的一个周期是（ ）
. ； . ； . ； .
[解析] ；由 是定义在 上的正值函数及 得
， ，
，所以 ，即 的一个周期是6
9．（06年安徽改编）函数 对于任意实数 满足条件 ，若 则 __________
[解析] ；由 得 ，进而得
所以
备选例题：（05年广东）设函数
，且在闭区间 上，只有
（Ⅰ）试判断函数 的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程 在闭区间 上的根的个数，并证明你的结论.
[解析] （Ⅰ）方法一：若 是偶函数，则
于是有 ，这与在闭区间 上，只有 矛盾
故 不是偶函数；
若 是奇函数，则 ，这与在闭区间 上，只有 矛盾，故若 不是奇函数
所以 既不是偶函数，也不是奇函数
方法二：因为在闭区间 上，只有 故 ，即 不是奇函数
又由 知， ，而 ，所以 ，又
所以 ，可见 不是偶函数
所以 既不是偶函数，也不是奇函数
（Ⅱ）方法一：因为
所以 ，即
所以 ，即
又 ，所以 和 都是方程 的根
由 和 及 得到
故方程 在闭区间 上的根至少有802个
如果存在 使得 ，则
但 ，这与在闭区间 上，只有 矛盾
故 在 上只有两个根，即 和
设 是方程 在闭区间 上任意一个根，则存在整数 ，使得
，且
由上可知 或 ，所以 或 （ ）
所以故方程 在闭区间 上仅有802个根
方法二：由
知 是周期为10的函数，
由 知 的图象关于直线 对称
又因为 在 上仅有 所以 在 上没有根
即 在 上只有两个根，即 和
于是， 在 内只有400个根，在 上仅有2个根，在 内仅有400个根，在 上没有根。
所以故方程 在闭区间 上仅有802个根
★抢分频道
基础巩固训练：
1．（普宁市城东中学09届月考）已知 是定义在R上的函数，且满足
，则“ 为偶函数”是（ ）“2为函数 的一个周期”的 ( ) A．充分不必要条件；B．必要不充分条件；C．充要条件；D．既不充分也不必要条件
[解析]C；由 得
若 为偶函数，则 ，即2为函数 的一个周期；
若2为函数 的一个周期，则 ，又由 得
，所以 ，即 为偶函数
2．（汕头市金山中学09年模拟）若偶函数 在 上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A． ；B． ；
C． ；D．
[解析]D；因为 为偶函数，故 ，又 ， 在 上是增函数，所以
3．（09年深圳翠园、宝安中学）设函数 (x∈R)为奇函数， ，
，则 （ ）
A．0；B．1； C． ；D．5
[解析]C；特取 ，则
4．（湛江市09年高三调研）函数 在其定义域内是( )
A. 是增函数又是偶函数；B. 是增函数又是奇函数
C. 是减函数又是偶函数；D. 是减函数又是奇函数
[解析]B；因为 ，故 是奇函数；又
，可见 是增函数，所以应选B
5．（中山市09年高三统考）偶函数 满足： ，且在区间 与 上分别递减和递增，则不等式 的解集为（ ）
A． ；B．
C． ；D．
[解析]D；由已知条件通过 的草图得知函数 的值在 、 、 上都为正，在 、 上为负，故不等式 的解集为
6．（09年深圳九校联考）已知 是定义域为R的奇函数，若当 时，
，则满足 的 的取值范围是 ．
[解析] ；当 时， ，由已知条件得 ，又
是定义域为R的奇函数，故得 ，即
当 时由 得 ；当 时由 得
综合提高训练：
7．设 是 上的奇函数， ，当 时， ，则 为
[解析] ；由 得 ，故 是以4为周期的函数，故 ，又 是 上的奇函数，且当
时， 所以
8．（四会中学高三09年月考）符号 表示不超过 的最大整数，如 ， ，定义函数 ．给出下列四个命题：①函数 的定义域是R，值域为 ；②方程 有无数个解;③函数 是周期函数；④函数 是增函数．其中正确命题的序号有（ ）
A．①④；B．③④；C．②③；D．②④
[解析] C；依据函数 的定义知函数 的定义域是R，但 ，故①错误；而方程 ，即方程 有无数个解，故②正确；由于当 取整数时，都有 ，所以函数 不是增函数，即④是错误的，从而应选C
9.（08年辽宁改编）设 是连续的偶函数,且当 时 是单调函数,
求满足 的所有 之和
[解析] ；根据题意，由已知得 ，又 是连续的偶函数,且当 时 是单调函数，故得 或
即 ① 或 ②
①的两根之和为 ，②的两根之和为 ，所以所有根的和为