[剖析]设 为 ,则由题设可得正六棱锥底面边长为
（单位： ）
于是底面正六边形的面积为（单位： ）
帐篷的体积为（单位： ）
求导数，得 令 解得 (不合题意，舍去), .
当 时， , 为增函数；当 时， , 为减函数。
所以当 时, 最大.答当 为 时，帐篷的体积最大.
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点: 最优化问题
题型1.函数模型中的最优化问题
例1. 设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?
【解题思路】由勾股定理建模.
解析 ： 设BD之间的距离为 km,则|AD|= ,|CD|= .如果公路运费为 元/km,那么铁路运费为 元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费 为: + ,( ).对该式求导,得 = + = ,令 ,即得25 =9( ),解之得
=15, =-15(不符合实际意义,舍去).且 =15是函数 在定义域内的唯一驻点,所以 =15是函数 的极小值点,而且也是函数 的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省.
【名师指引】 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.
例2. 某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元?
思路分析:在一定条件下,“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”等问题,在生产、生活中经常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.
解法一:设相同的时间内,生产第x(x∈N*,1≤x≤10)档次的产品利润y最大. 2分
依题意,得y=［8+2(x－1)］［60－3(x－1)］ 4分
=－6x2+108x+378=－6(x－9)2+864(1≤x≤10), 8分
显然,当x=9时,ymax=864(元),
即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元. 10分
解法二:由上面解法得到y=－6x2+108x+378.
求导数,得y′=－12x+108,令y′=－12x+108=0,
解得x=9.因x=9∈［1,10］,y只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第9档次的产品利润最大,最大利润为864元.
【名师指引】一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.
题型2:几何模型的最优化问题
【名师指引】与最值有关的问题应合理解模,使问题获解.
例3. (07上海春季高考)某人定制了一批地砖. 每块地砖 (如图1所示）是边长为 米的正方形 ，点E、F分别在边BC和CD上， △ 、△ 和四边形 均由单一材料制成，制成△ 、△ 和四边形 的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1. 若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形 .
(1) 求证：四边形 是正方形；
(2) 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？
【解题思路】图2是由四块图1所示地砖绕点 按顺时针旋转 后得到，△ 为等腰直角三角形， 四边形 是正方形.
[解析] (2) 设 ，则 ，每块地砖的费用
为 ，制成△ 、△ 和四边形 三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a (元)，
.
由 ，当 时， 有最小值，即总费用为最省.
答：当 米时，总费用最省.
【名师指引】 处理较复杂的应用题审题时要逐字逐句地去啄磨.
题型3:三角模型的最优化问题
例4. 若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动，桌面上有与点O距离为 的另一点A，问电灯与点0的距离怎样，可使点A处有最大的照度？（ 照度与 成正比，与 成反比）
【解题思路】如图，由光学知识，照度 与 成正比，与 成反比，
即 （ 是与灯光强度有关的常数）要想点 处有最
大的照度，只需求 的极值就可以了.
解析：设 到 的距离为 ，则 ，
于是 ， .
当 时，即方程 的根为 （舍）与 ，在我们讨论的半闭区间 内，所以函数 在点 取极大值，也是最大值。即当电灯与 点距离为 时，点 的照度 为最大.
（0， ）
+ -
↗
↘
点评：在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得 =0且在该点两侧， 的符号各异，一般称为单峰问题，此时，该点就是极值点，也是最大（小）值点.
【名师指引】多参数的数学应用题要注意分清哪些是主元,哪些是参数;函数最值有关的问题通常利用导数求解比较方便.
【新题导练】.
1．在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
解析:设箱底边长为 ，则无盖的方底箱子的高为 ，其体积为 ，
则 ，令 ，得 ，
解得 （ 已舍去）且仅当 时， ；当 时， .所以函
数 在 时取得极大值，结合实际情况，这个极大值就是函数 的最大值.
，故当箱底边长为 时，箱子容积最大，最大容积是 .
2. .一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？
设船速度为 时，燃料费用为 元，则 ，由 可得 ，∴ ，∴总费用 ， ，令 得 ，当 时， ，此时函数单调递减，当 时， ，此时函数单调递增，∴当 时， 取得最小值，∴此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．
★ 抢 分 频 道 ★
基础巩固训练
1. 我国儿童4岁前身高增长的速度最快的是在哪一个年龄段?答:
据有关统计资料, 我国儿童4岁前身高情况有一组统计数据
年龄/岁 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …
身高/米 0.52 0.63 0.73 0.85 0.93 1.01 1.06 1.12 …
思路分析:: 要判断这一个问题.必须要计算每半年这个群体长高的平均增长率,再加以比较即可,通过计算每半年长高的平均增长率分别是2.2, 2, 2.4, 1.6, 1.6, 1, 1.2可知我国儿童在1.5岁至2岁这一时段身高增长的速度最快
2.（2008•深圳6校）某日中午 时整，甲船自 处以 的速度向正东行驶，乙船自 的正北 处以 的速度向正南行驶，则当日 时 分时两船之间距离对时间的变化率是_____________.
解析:距离对时间的变化率即瞬时速度。即此时距离函数对时间变量的导数。将物理学概念与数学中的导数概念迁移到实际应用题中来。易求得从 点开始， 小时时甲乙两船的距离
，
当 时，
3.要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长和宽的和为20m，则仓库容积的最大值为 1800m3 .
解：设长为 ，则宽为 ，仓库的容积为V
则
，令 得
当 时， ；当 时，
时，
4. 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使体积为最大，则其高应为____________.
解：设圆锥底面半径为r，高为 ，则 ， ， 圆锥体积一天 ，令 得 ，当 时， ； 时，
时，V最大，当应填
5. 质量为5 kg的物体运动的速度为v=(18t－3t2) m/s,在时间t=2 s时所受外力为______N.
分析:本题主要考查导数的物理意义即速度v(t)对时间的导数是该时刻的加速度.
解:∵v′=18－6t,∴v′|t=2=18－6×2=6.∴t=2时物体所受外力F为6×5=30.
综合拔高训练
6.在长为100千米的铁路线AB旁的C处有一个工厂，工厂与铁路的距离CA为20千米.由铁路上的B处向工厂提供原料，公路与铁路每吨千米的货物运价比为5∶3，为节约运费，在铁路的D处修一货物转运站，设AD距离为x千米，沿CD直线修一条公路(如图).
(1)将每吨货物运费y(元)表示成x的函数.
(2)当x为何值时运费最省？
解：(1)设公路与铁路每吨千米的货物运价分别为5k、3k(元)(k为常数)AD=x，则DB=100－x.
∴每吨货物运费y=(100－x)•3k+ •5k(元)
(2)令y′=－3k+5k• •k=0
∴5x－3 =0
∵x>0，∴解得x=15
当0<x<15时，y′<0;当x>15时，y′>0
∴当x=15时，y有最小值.
答：当x为15千米时运费最省 .
7. (广东省2008届六校第二次联考)设某物体一天中的温度T是时间t的函数，已知 ，其中温度的单位是℃，时间的单位是小时．中午12:00相应的t=0，中午12:00以后相应的t取正数，中午12:00以前相应的t取负数（如早上8：00相应的t=-4，下午16：00相应的t=4）．若测得该物体在早上8:00的温度为8℃，中午12:00的温度为60℃，下午13:00的温度为58℃，且已知该物体的温度早上8:00与下午16:00有相同的变化率.
（1）求该物体的温度T关于时间t的函数关系式；
（2）该物体在上午10:00到下午14:00这段时间中(包括端点)何时温度最高？最高温度是多少？
解：(1) 因为 , ………………………2分
而 , 故 , ………………………3分
. …………………6分
∴ . …………………………………7分
(2) , 由 ……………………9分
当 在 上变化时， 的变化情况如下表:
-2 （-2，-1） -1 （-1，1） 1 （1，2） 2
+ 0 － 0 +
58 增函数 极大值62 减函数 极小值58 增函数 62
…………………………………12分
由上表知当 ，说明在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温度是62℃.
8.今有一块边长 的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大， 值应为多少？
解：折成盒子后底面正三角形的边长为 ，高为
设：容积为V，则
令 得 （舍去）
当 时， ；当 时，
时，
答： 为 时，盒子的容积最大为