数学试题（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． ，则 = ( )
A. B.1 C. D.2
2．“因为四边形ABCD是矩形，所四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是 （ ）
A．矩形都是四边形； B．四边形的对角线都相等；
C．矩形都是对角线相等的四边形； D．对角线都相等的四边形是矩形
3． ( )
A. B. C. D.
4．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 = ( )
A.0 B.2 C.3 D.9
5．一只骰子掷 次，至少出现一次1点的概率大于 ，则 的最小值为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
6. 已知函数 的图象如图所示，其中
为函数 的导函数，则 的大致图象是( )
7．以下结论不正确的是 （ ）
A．根据2×2列联表中的数据计算得出K2≥6.635, 而P（K2≥6.635）≈0.01，则有99%的把握认为两个分类变量有关系
B．在线性回归分析中，相关系数为r，|r|越接近于1，相关程度越大；|r|
越小，相关程度越小
C．在回归分析中，相关指数R2越大，说明残差平方和越小，回归效果越好
D．在回归直线 中，变量x=200时，变量y的值一定是15
8、已知等差数列 的通项公式为 ，则 的展开式中含 项的系数是该数列的 （ ）
A.第 项 B.第 项 C.第 项 D.第 项
9、将5件相同的小礼物全部送给3个不同的球迷，让每个球迷都要得到礼物，不同的分法种数是 （ ）
A．2种 B．10种 C．5种 D．6种
10、由曲线y= ,y= 围成的封闭图形面积为 （ ）
A. B. C. D.
11、为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红橙黄绿蓝中的一种颜色，且这个5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 （ ）
A.1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒
12. 函数 ，则函数 在区间 上的值域是 （ ）
第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）
二．填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分.）
13．复数 在复平面上对应的点在第 象限。
14．若 在点P处的切线平行于 轴，且点P在 的图象上，则点P的坐标为 。
15．来自北京、上海、天津、重庆四市的各2名学生代表排成一排照像，要求北京的两人相邻，重庆的两人不相邻。所有不同的排法种数为 (用数字作答)。
16、某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 ，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 .
三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本题12分)某班从4名男同学和2名女同学中任选3人参加全校举行的“八荣八耻”教育演讲赛。如果设随机变量 表示所选3人中女同学的人数.
(1)若 ,求共有不同选法的种数;
(2)求 的分布列和数学期望；
(3)求“ ”的概率。
18.(本题12分)已知二项式 的展开式中前三项的系数成等差数列．
(1)求 的值;
(2)设 .
①求 的值; ②求 的值;
③求 的最大值.
19、(本题12分)某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置． 若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券． 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．
（1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；
（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为 （元）．求随机变量 的分布列和数学期望．
20．(本题12分) 已知函数 在 上为增函数，在[0,2]上为减函数， 。
(1)求 的值；
(2)求证: 。
21. (本题12分)函数数列 满足 , = 。
(1)求 ；
(2)猜想 的解析式，并用数学归纳法证明。
22．(本题14分)已知 为实数，函数 ．
（I）若函数 的图象上有与 轴平行的切线，求 的取值范围；
（II）若 ，
（ⅰ） 求函数 的单调区间；
（ⅱ） 证明对任意的 ，不等式 恒成立。
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17.解: (1) ,所以共有不同选法的种数为16; …………2分
(2) 易知 可能取的值为 ． …………………4分
所以， 的分布列为
………………………8分
的数学期望为： ； ………………………10分
(3) “所选3人中女同学人数 ”的概率为：
。………………………12分
18.解:（1）由题设，得 ， ………………………3分
即 ，解得n＝8，n＝1（舍去）．……………………4分
(2) ① ,令 ………………………6分
②在等式的两边取 ,得 ………8分
③设第r＋1项的系数最大，则 …………………10分
即 解得r＝2或r＝3．
所以 系数最大值为 ．………………12分
所以，随机变量 的分布列为：
0 30 60 90 120
………………………10分
其数学期望 ．………12分
20.解:(1) .由题 知 ………………………3分
(2)由题又有 故由
两根为 .………………………6分
结合题设条件有 ,即 .………………………8分
又
即得证. ………………………12分
21．解:(1) ………………………2分
………………………4分
(2)猜想 ,下面用数学归纳法证明
这就是说当 时猜想也成立. ………………………10分
由1°,2°可知,猜想对 均成立.
故 .………………………12分
22． 解：(Ⅰ) ∵ ，∴ ．……………2分
∵函数 的图象上有与 轴平行的切线，∴ 有实数解．
∴ ，…………………4分
∴ ．因此，所求实数 的取值范围是 ．……6分
(Ⅱ) (ⅰ)∵ ，∴ ，即 ．
∴ ．
由 ，得 或 ； 由 ，得 ．
因此，函数 的单调增区间为 ， ；
单调减区间为 ．………………………10分
(ⅱ)由(ⅰ)的结论可知，
在 上的最大值为 ，最小值为 ；
在 上的的最大值为 ，最小值为 ．
∴ 在 上的的最大值为 ，最小值为 ．
因此，任意的 ，恒有 ．………14分