宁波市2009学年第二学期期末试题
高一数学试卷
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．
考试时间120分钟．本次考试不得使用计算器. 请考生将所有题目都做在答题卷上．
参考公式：
球的表面积公式 , 球的体积公式 , 其中 表示球的半径.
棱柱的体积公式 , 其中 表示棱柱的底面积， 表示棱柱的高.
棱锥的体积公式 , 其中 表示棱锥的底面积， 表示棱锥的高.
棱台的体积公式 , 其中 分别表示棱台的上底、下底面积， 表示棱台的高.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知点 ，则点 关于原点的对称点的坐标为
A. B. C. D.
2．已知直线 仅经过第一、第三象限，则直线 的倾斜角的取值范围是
A. B. C. D.
3．四边形 的顶点坐标为 ，则四边形 为
A.平行四边形 B.梯形 C.等腰梯形 D.矩形
4．圆 和圆 的位置关系是
A.相离 B.内切 C.外切 D. 相交
5．已知直线 //平面 ，则下列命题中正确的是
A． 内所有直线都与直线 异面 B． 内所有直线都与直线 平行
C． 内有且只有一条直线与直线 平行
D． 内有无数条直线与直线 垂直
6．圆柱的侧面展开图是长 ，宽 的矩形，则这个圆柱的体积为
A. B. 或
C. 或 D.
7．若直线 和半圆 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
8．如图，在正方体 中， 是
底面 的中心， 为 的中点，那么
异面直线 与 所成角的余弦值等于
A. B. C. D.
9．三棱柱 中， ， ，过 作底面 的垂线 ，垂足为 ，则点 一定落在
A.直线 上 B.直线 上 C.直线 上 D. 的内部
10．如图，由六个平面多边形围成的多面体 中， 两两互相垂直，平面 平面 ，平面 平面 ， ， ，则该多面体的体积为
A. B. C. D.
第II卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．已知直线 恒过一定点，则此定点的
坐标是 ▲ .
12．直线 被圆 所截得的弦长
为 ▲ .
13．已知平面区域 恰好被面积最小的圆 及其内部所覆
盖，则 圆 的方程为____▲_____.
14．一个几何体的三视图如右图所示，其中正 视图和侧视图均是边长为2的正方形，则该几何体的全面积为 ▲ .
15．在正方体 的12条棱中，共有 ▲ 条棱所在的直线与直线 异面.
16．已知平面 平面 ， ，线段 与线段 交于点 ，若 ，则 ▲ ．
17．给出以下命题：
① 若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱；
② 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
③ 有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台；
④ 球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；
⑤ 过圆锥顶点的截面中，截面面积最大的一定是轴截面.
其中正确命题的序号有______▲___________．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18. （本小题14分）已知直线 经过直线 与直线 的交点 ，且垂直于直线 .
（Ⅰ）求直线 的方程；（Ⅱ）求直线 与两坐标轴围成的三角形的面积 .
19. （本小题14分）如图，正三棱柱 的底面边长为8，对角线 ， 为 的中点.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的大小的余弦值.
20．（本小题14分）已知直线 与圆 相切，且原点 到 的距离为1．求此直线 的方程．
21．（本小题15分）如图，在正方体 中， 是 的中点，点 位于 上．
（Ⅰ）问当 为何值时， ？
（Ⅱ）当 为 中点时，求直线 与
平面 所成角的正切值．
22．（本小题15分）已知圆 以 为圆心且经过原点O．
(Ⅰ)若直线 与圆 交于点 ，若 ，求圆 的方程；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，已知点 的坐标为 ，设 分别是直线 和圆 上的动点，求 的最小值及此时点 的坐标．
高一数学参考答案
一．选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C A D D C C D A B
二．填空题
11． 12． 13．
14． 15． 6 16． 17． ① ④
三．解答题
18．（本小题14分）解：（Ⅰ）由 解得
因所求直线 与 垂直，可设直线 的方程为
.把点P的坐标（ ，2）代入得 ，
即 .所求直线 的方程为 . …………8分
（Ⅱ）由直线 的方程知它在 轴、 轴上的截距分别是 、 ，
所以直线 与两坐标轴围成三角形的面积 .…………14分
19．（本小题14分）解（Ⅰ）连接 ，设 与 交于点 ，连接 ，由正三棱柱性质知，
为 中点，又 为 的中点, ，
又 ，
…………………………7分
（Ⅱ） 为 的中点，由正三棱柱性质知， ， ，故 即为二面角 的平面角，
,在 中，
， ，故余弦值为 ．…………14分
20．（本小题14分）解： 圆
即为 ∴ 圆心 ……………………2分
当直线斜率不存在时不合题意；
当直线斜率存在时，
设直线方程为 ，则 ……………6分
∴ ∴ .
当 时， ；
当 时, , ∴所求直线方程为
, , , ．……………14分
21．（本小题15分）解：（Ⅰ）连接 ， ， ，若 ，则有
，
在平面 内，设正方体的棱长为1，
，由于 ，
可得： ，故 ．…………8分
（Ⅱ）连接 ， ，
知 即为直线 与平面 所成角. 设正方体的棱长为1，
在 中， …………15分
22．（本小题15分）解：由题知，圆 方程为 ，
化简得 …………………………3分
（Ⅰ） ，则原点 在 的中垂线上，
设 的中点为 ，则 ． 三点共线，则直线 的斜率 或 ，知圆心 或 ，所以圆方程为 或 ，…………………6分
由于当圆方程为 时，直线 到圆心的距离 ，不满足直线和圆相交，故舍去．
圆 方程为 ． ……………………………8分
(Ⅱ) 点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，又 到圆上点 的最短距离为 ，
所以 的最小值为 ，直线 的方程为 ，
则直线 与直线 的交点 的坐标为 ．………15分