2013中考全国100份试卷分类汇编
正多边形
1、（绵阳市2013年）如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（   C  ）
A．      B．12mm      C．       D． 

［解析］画出正六边形，如图，通过计算　可知，ON＝3 ，MN＝6 ，选C。

2、（2013•天津）正六边形的边心距与边长之比为（　　）
　 A．  ：3 B．  ：2 C． 1：2 D．  ：2
考点： 正多边形和圆．
分析： 首先根据题意画出图形，然后设六边形的边长是a，由勾股定理即可求得OC的长，继而求得答案．
解答： 解：如图：设六边形的边长是a，
则半径长也是a；
经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC，
则AC= AB= a，
∴OC= = a，
∴正六边形的边心距与边长之比为： a：a= ：2．
故选B．
 
点评： 此题考查了正多边形和圆的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

3、（2013•自贡）如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O（使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（　　）
 
　 A． 4 B． 5 C． 6 D． 7

考点： 正多边形和圆．
分析： 根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，即让周角除以30的倍数就可以解决问题．
解答： 解：360÷30=12；
360÷60=6；
360÷90=4；
360÷120=3；
360÷180=2．
因此n的所有可能的值共五种情况，
故选B．
点评： 本题考查了正多边形和圆，只需让周角除以30°的倍数即可．

4、（2013•资阳）一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（　　）
　 A． 正六边形 B． 正八边形 C． 正十边形 D． 正十二边形

考点： 多边形内角与外角．
分析： 利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．
解答： 解：360÷36=10．
故选C．
点评： 本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．

5、（2013•绍兴）小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：
（1）作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；
（2）以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图2．若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是（　　）
 
　 A． BD2= OD B． BD2= OD C． BD2= OD D． BD2= OD

考点： 正多边形和圆．
分析： 首先连接BM，根据题意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM，然后由勾股定理可求得BM与OD的长，继而求得BD2的值．
解答： 解：如图2，连接BM，
根据题意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM，
∵OA的垂直平分线交OA于点M，
∴OM=AM= OA= ，
∴BM= = ，
∴DM= ，
∴OD=DM﹣OM= ﹣ = ，
∴BD2=OD2+OB2= = = OD．
故选C．
 
点评： 此题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分母有理化的知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
　
6、（2013•滨州）若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（　　）
　 A． 6，  B．  ，3 C． 6，3 D．  ，

考点： 正多边形和圆．
分析： 由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度．
解答： 解：∵正方形的边长为6，
∴AB=3，
又∵∠AOB=45°，
∴OB=3
∴AO= =3
故选B．
 
点评： 此题考查了正多边形和圆，重点是了解有关概念并熟悉如何构造特殊的直角三角形，比较重要．

7、（2013•呼和浩特）只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（　　）
　 A． 正十边形 B． 正八边形 C． 正六边形 D． 正五边形

考点： 平面镶嵌（密铺）．
分析： 根据密铺的知识，找到一个内角能整除周角360°的正多边形即可．
解答： 解：A、正十边形每个内角是180°﹣360°÷10=144°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；
B、正八边形每个内角是180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；
C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能整除360°，可以单独进行镶嵌，符合题意；
D、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；
故选：C．
点评： 本题考查了平面密铺的知识，注意几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．

8、（2013•咸宁）如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为（　　）
 
　 A． 30° B． 36° C． 38° D． 45°

考点： 平行线的性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角．
分析： 首先根据多边形内角和计算公式计算出每一个内角的度数，再根据等腰三角形的性质计算出∠AEB，然后根据平行线的性质可得答案．
解答： 解：∵ABCDE是正五边形，
∴∠BAE=（5﹣2）×180°÷5=108°，
∴∠AEB=（180°﹣108°）÷2=36°，
∵l∥BE，
∴∠1=36°，
故选：B．
点评： 此题主要考查了正多边形的内角和定理，以及三角形内角和定理，平行线的性质，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）．180° （n≥3）且n为整数）．

9、（2013•六盘水）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（　　）
　 A． 正三角形 B． 正六边形 C． 正方形 D． 正五边形

考点： 平面镶嵌（密铺）．
分析： 几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．360°为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌．
解答： 解：A、正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
B、正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
C、正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
D、正五边形的一个内角度数为180﹣360÷5=108°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意．
故选：D．
点评： 本题考查了平面密铺的知识，注意掌握只用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．

10、(2013年南京)△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A、B与它的中心O为顶点的三角形。若△OAB的   一个内角为70，则该正多边形的边数为      。
答案：9
解析：若∠OAB＝∠OBA＝70°，则∠BOA＝40°，边数为： ＝9；
若∠BOA＝70°，则边数为： 不可能，因此，边数为9。

11、（2013•徐州）如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为　40　cm2．
 

考点： 正多边形和圆．
分析： 根据正八边形的性质得出正八边形每个内角以及表示出四边形ABGH面积进而求出答案即可．
解答： 解：连接HE，AD，
在正八边形ABCDEFGH中，可得：HE⊥BG于点M，AD⊥BG于点N，
∵正八边形每个内角为： =135°，
∴∠HGM=45°，
∴MH=MG，
设MH=MG=x，
则HG=AH=AB=GF= x，
∴BG×GF=2（ +1）x2=20，
四边形ABGH面积=（AH+BG）×HM=（ +1）x2=10，
∴正八边形的面积为：10×2+20=40（cm2）．
故答案为：40．
 
点评： 此题主要考查了正八边形的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出四边形ABGH面积是解题关键．

12、（2013•内江）如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为　4π　cm．
 

考点： 正多边形和圆；弧长的计算；旋转的性质．
分析： 每次滚动正六边形的中心就以正六边形的半径为半径旋转60°，然后计算出弧长，最后乘以六即可得到答案．
解答： 解：根据题意得：每次滚动正六边形的中心就以正六边形的半径为半径旋转60°，
正六边形的中心O运动的路程∵正六边形的边长为2cm，
∴运动的路径为： = ；
∵从图1运动到图2共重复进行了六次上述的移动，
∴正六边形的中心O运动的路程6× =4πcm
故答案为4π．
 
点评： 本题考查了正多边形和圆的、弧长的计算及旋转的性质，解题的关键是弄清正六边形的中心运动的路径．

13、（2013福省福州4分、15）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是       ．
 
考点：正多边形和圆．
分析：延长AB，然后作出C所在的直线，一定交于格点E，根据S△ABC=S△AEC﹣S△BEC即可求解．
解答：解：延长AB，然后作出C所在的直线，一定交于格点E．
正六边形的边长为1，则半径是1，则CE=4，
相邻的两个顶点之间的距离是： ，则△BCE的边EC上的高是： ，
△ACE边EC上的高是： ，
则S△ABC=S△AEC﹣S△BEC=×4×（ ﹣ ）=2 ．
故答案是：2 ．
 
点评：本题考查了正多边形的计算，正确理解S△ABC=S△AEC﹣S△BEC是关键．　

14、（2013福省福州4分、12）矩形的外角和等于          度．
考点：多边形内角与外角．
分析：根据多边形的外角和定理解答即可．
解答：解：矩形的外角和等于360度．
故答案为：360．
点评：本题考查了多边形的外角和，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．　

15、（2013台湾、31）如图，甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，其作法如下：（甲） 连接BD、CE，两线段相交于P点，则P即为所求
（乙） 先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（　　）
 
　 A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
考点：平行四边形的判定．
分析：求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠AEP、∠BPE的度数，根据平行四边形的判定判断即可．
解答：
解：甲正确，乙错误，
理由是：如图，∵正五边形的每个内角的度数是 =108°，AB=BC=CD=DE=AE，
∴∠DEC=∠DCE= ×（180°﹣108°）=36°，
同理∠CBD=∠CDB=36°，
∴∠ABP=∠AEP=108°﹣36°=72°，
∴∠BPE=360°﹣108°﹣72°﹣72°=108°=∠A，
∴四边形ABPE是平行四边形，即甲正确；
 
∵∠BAE=108°，
∴∠BAM=∠EAM=54°，
∵AB=AE=AP，
∴∠ABP=∠APB= ×（180°﹣54°）=63°，∠AEP=∠APE=63°，
∴∠BPE=360°﹣108°﹣63°﹣63°≠108°，
即∠ABP=∠AEP，∠BAE≠∠BPE，
∴四边形ABPE不是平行四边形，即乙错误；
故选C．
点评：本题考查了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形．　

16、（13年安徽省8分、18）我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图（1）所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点。将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图（2）、图（3），……。
 
（1）观察以上图形并完成下表：
图形的名称 基本图的个数 特征点的个数
图（1） 1 7
图（2） 2 12
图（3） 3 17
图（4） 4 
… … 
猜想：在图（n）中，特征点的个数为                  （用n表示）
（2）如图，将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为（x1，2），则x1=   ；图（2013）的对称中心的横坐标为        

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