(2013•毕节地区)将二次函数y=x2的图象向右 平移一个单位长度,再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为( )
A. y=(x﹣1)2+3 B. y=(x+1)2+3 C. y=(x﹣1)2﹣3 D. y=(x+1)2﹣3
考点: 二次函数图象与几何变换.
分析: 由二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度,再向上平移3个单位长度,根据平移的性质,即可求得所得图象的函数解析式.注意二次函数平移的规律为:左加右减,上加下减.
解答: 解:∵二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度,再向上平移3个单位长度,
∴所得图象的函数解析式是:y=(x﹣1)2+3.
故选A.
点评: 本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键.
(2013•毕节地区)如图,抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B,且A点的坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,1).
(1)求抛物线的解析式,并求出点B坐标;
(2)过点B作BD∥CA交抛物线于点D,连接BC、CA、AD,求四边形ABCD的周长;(结果保留根号)
(3)在x轴上方的抛物线上是否存在点P,过点P作PE垂直于x轴,垂足为点E,使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似?若存在请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
考点: 二次函数综合题.
分析: (1)利用待定系数法求出抛物线的解析式,点B坐标可由对称性质得到,或令y=0,由解析式得到;
(2)关键是求出点D的坐标,然后利用勾股定理分别求出四边形ABCD四个边的长度;
(3)本问为存在型问题.可以先假设存在,然后按照题意条件求点P的坐标,如果能求出则点P存在,否则不存在.注意三角形相似有两种情形,需要分类讨论.
解答: 解:(1)∵点A(1,0)和点C(0,1)在抛物线y=ax2+b上,
∴ ,解得:a=﹣1,b=1,
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+1,
抛物线的对称轴为y轴,则点B与点A(1,0)关于y轴对称,∴B(﹣1,0).
(2)设过点A(1,0),C(0,1)的直线解析式为y=kx+b,可得:
,解得k=﹣1,b=1,∴y=﹣x+1.
∵BD∥CA,∴可设直线BD的解析式为y=﹣x+n,
∵点B(﹣1,0)在直线BD上,∴0=1+n,得n=﹣1,
∴直线BD的解析式为:y=﹣x﹣1.
将y=﹣x﹣1代入抛物线的解析式,得:﹣x﹣1=﹣x2+1,解得:x1=2,x2=﹣1,
∵B点横坐标为﹣1,则D点横坐标为2,
D点纵坐标为y=﹣2﹣1=﹣3,∴D点坐标为(2,﹣3).
如答图①所示,过点D作DN⊥x轴于点N,则DN=3,AN=1,BN=3,
在Rt△BDN中,BN=DN=3,由勾股定理得:BD= ;
在Rt△ADN中,DN=3,AN=1,由勾股定理得:AD= ;
又OA=OB=OC=1,OC⊥AB,由勾股定理得:AC=BC= ;
∴四边形ABCD的周长为:AC+BC+BD+AD= + + + = + .
(3)假设存在这样的点P,则△BPE与△CBD相似有两种情形:
(I)若△BPE∽△BDC,如答图②所示,
则有 ,即 ,∴PE=3BE.
设OE=m(m>0),则E(﹣m,0),BE=1﹣m,PE=3BE=3﹣3m,
∴点P的坐标为(﹣m,3﹣3m).
∵点P在抛物线y=﹣x2+1上,
∴3﹣3m=﹣(﹣m)2 +1,解得m=1或m=2,
当m=1时,点E与点B重合,故舍去;当m=2时,点E在OB左侧,点P在x轴下方,不符合题意,故舍去.
因此,此种情况不存在;
(II)若△EBP∽△BDC,如答图③所示,
则有 ,即 ,∴BE=3PE.
设OE=m(m>0),则E(m,0),BE=1+m,PE=BE=(1+m)=+m,
∴点P的坐标为(m, +m).
∵点P在抛物线y=﹣x2+1上,
∴+m=﹣(m)2+1,解得m=﹣1或m=,
∵m>0,故m=1舍去,∴m=,
点P的纵坐标为: +m=+×=,
∴点P的坐标为(,).
综上所述,存在点P,使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似,点P的坐标为(,).
(2013•昆明)如图,矩形OABC在平面直角坐标系xoy中,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=4,OC=3,若抛物线的顶点在BC边上,且抛物线经过O、A两点,直线AC交抛物线于点D。
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)若点M在抛物线上,点N在x轴上,是否存在以点A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由。
(2013•邵阳)如图所示,已知抛物线y=﹣2x2﹣4x的图象E,将其向右平移两个单位后得到图象F.
(1)求图象F所表示的抛物线的解析式:
(2)设抛物线F和x轴相交于点O、点B(点B位于点O的右侧),顶点为点C,点A位于y轴负半轴上,且到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍,求AB所在直线的解析式.
考点: 二次函数图象与几何变换;待定系数法求一次函数解析式;二次函数的性质.
分析: (1)根据二次函数图象左加右减,上加下减的平移规律进行解答;
(2)先根据抛物线F的解析式求出顶点C,和x轴交点B的坐标,再设A点坐标为(0,y),根据点A到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍,列出关于y的方程,解方程求出y的值,然后利用待定系数法求出AB所在直线的解析式.
解答: 解:(1)∵抛物线y=﹣2x2﹣4x=﹣2(x+1)2+2的图象E,将其向右平移两个单位后得到图象F,
∴图象F所表示的抛物线的解析式为y=﹣2(x+1﹣2)2+2,即y=﹣2(x﹣1)2+2;
(2)∵y=﹣2(x﹣1)2+2,
∴顶点C的坐标为(1,2).
当y=0时,﹣2(x﹣1)2+2=0,
解得x=0或2,
∴点B的坐标为(2,0).
设A点坐标为(0,y),则y<0.
∵点A到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍,
∴﹣y=2×2,解得y=﹣4,
∴A点坐标为(0,﹣4).
设AB所在直线的解析式为y=kx+b,
由题意,得 ,
解得 ,
∴AB所在直线的解析式为y=2x﹣4.
点评: 本题考查了二次函数图象与几何变换,二次函数的性质,运用待定系数法求函数的解析式,难度适中,求出图象F所表示的抛物线的解析式是解题的关键.
(2013•柳州)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,0),(5,0),(3,﹣4).
(1)求该二次函数的解析式;
(2)当y>﹣3,写出x的取值范围;
(3)A、B为直线y=﹣2x﹣6上两动点,且距离为2,点C为二次函数图象上的动点,当点C运动到何处时△ABC的面积最小?求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值.
考点: 二次函数综合题.
分析: (1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)求出y=3时x的值,结合函数图象,求出y>﹣3时x的取值范围;
(3)△ABC的底边AB长度为2,是定值,因此当AB边上的高最小时,△ABC的面积最小.如解答图所示,由点C向直线y=﹣2x﹣6作垂线,利用三角函数(或相似三角形)求出高CE的表达式,根据表达式求出CE的最小值,这样问题得解.
解答: 解:(1)∵点(1,0),(5,0),(3,﹣4)在抛物线上,
∴ ,
解得 .
∴二次函数的解析式为:y=x2﹣6x+5.
(2)在y=x2﹣6x+5中,令y=﹣3,即x2﹣6x+5=﹣3,
整理得:x2﹣6x+8=0,解得x1=2,x2=4.
结合函数图象,可知当y>﹣3时,x的取值范围是:x<2或x>4.
(3)设直线y=﹣2x﹣6与x轴,y轴分别交于点M,点N,
令x=0,得y=﹣6;令y=0,得x=﹣2.
∴M(﹣3,0),N(0,﹣6),
∴OM=3,ON=6,由勾股定理得:MN=3 ,
∴tan∠MNO= = ,sin∠MNO= = .
设点C坐标为(x,y),则y=x2﹣6x+5.
过点C作CD⊥y轴于点D,则CD=x,OD=﹣y,DN=6+y.
过点C作直线y=﹣2x﹣6的垂线,垂足为E,交y轴于点F,
在Rt△CDF中,DF=CD•tan∠MNO= x,CF= = = = x.
∴FN=DN﹣DF=6+y﹣ x.
在Rt△EFN中,EF=FN•sin∠MNO= (6+y﹣ x).
∴CE=CF+EF= x+ (6+y﹣ x),
∵C(x,y)在抛物线上,∴y=x2﹣6x+5,代入上式整理得:
CE= (x2﹣4x+11)= (x﹣2)2+ ,
∴当x=2时,CE有最小值,最小值为 .
当x=2时,y=x2﹣6x+5=﹣3,∴C(2,﹣3).
△ABC的最小面积为: AB•CE= ×2× = .
∴当C点坐标为(2,﹣3)时,△ABC的面积最小,面积的最小值为 .
点评: 本题是二次函数综合题型,考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数的图象与性质、解直角三角形(或相似三角形)等知识点.难点在于第(3)问,确定高CE的表达式是解题的关键所在;本问的另一解法是:直线y=﹣2x+k与抛物线y=x2﹣6x+5相切时,切点即为所求的点C,同学们可以尝试此思路,以求触类旁通、举一反三.
(2013•铜仁)如图,已知直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c经过
A、B两点,点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合).
(1)求抛物线的解析式:
(2)求△ABC的面积;
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使△ABM为等腰三角形?若不存在,请说明
理由:若存在,求出点M的坐标.
解:(1)求出A(1,0),B(0,-3)……………………1分
把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得
解得:b=2,c=-3………………………………………………3分
∴抛物线为:y=x2+2x-3……………………………………4分
(2)令y=0得:0=x2+2x-3
解之得:x1=1,x2=-3
所以C(-3,0),AC=4…………………………6分
S△ABC=
(3)抛物线的对称轴为:x=-1,假设存在M(-1,m)满足题意
讨论:
①当MA=AB时
∴M1(-1, ),M2(-1,- )………………………… …………10分
②当MB=BA时
∴M3=0,M4=-6……………………………………10分
∴M3(-1,0),M4(-1,-6)……………………………………12分
③当MB=MA时
m=-1
∴M5(-1,-1)……………………………………13分
答:共存在五个点M1(-1, ),M2(-1,- ),M3(-1,0),M4(-1,-6),M5(-1,-1),
使△ABM为等腰三角形……………………………………14分
(2013•临沂)如图,抛物线经过A(﹣1,0),B(5,0),C(0, )三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标;
(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.
考点: 二次函数综合题.
专题: 探究型.
分析: (1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),再把A(﹣1,0),B(5,0),C(0, )三点代入求出a、b、c的值即可;
(2)因为点A关于对称轴对称的点A的坐标为(5,0),连接BC交对称轴直线于点P,求出P点坐标即可;
(3)分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论.
解答: 解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
∵A(﹣1,0),B(5,0),C(0, )三点在抛物线上,
∴ ,
解得 .
∴抛物线的解析式为:y= x2﹣2x﹣ ;
(2)∵抛物线的解析式为:y= x2﹣2x﹣ ,
∴其对称轴为直线x=﹣ =﹣ =2,
连接BC,如图1所示,
∵B(5,0),C(0,﹣ ),
∴设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
∴ ,
解得 ,
∴直线BC的解析式为y= x﹣ ,
当x=2时,y=1﹣ =﹣ ,
∴P(2,﹣ );
(3)存在.
如图2所示,
①当点N在x轴下方时,
∵抛物线的对称轴为直线x=2,C(0,﹣ ),
∴N1(4,﹣ );
②当点N在x轴上方时,
如图,过点N作ND⊥x轴于点D,
在△AND与△MCO中,
∴△AND≌△MCO(ASA),
∴ND=OC= ,即N点的纵坐标为 .
∴ x2﹣2x﹣ = ,
解得x=2+ 或x=2﹣ ,
∴N2(2+ , ),N3(2﹣ , ).
综上所述,符合条件的点N的坐标为(4,﹣ ),(2+ , )或(2﹣ , ).
点评: 本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识,在解答(3)时要注意进行分类讨论.
(2013•茂名)下列二次函 数的图象,不能通过函数 的图象平移得到的是( )
A、 B、 C、 D、
(2013•茂名)如图,抛物线 与 轴交于点 A和点B,与 轴交于点C,已知点B的坐标为(3,0).
(1)求 的值和抛物线的顶点坐标;
(2)分别连接AC、BC.在 轴下方的抛物线上求一点M,使 与 的面积相等 ;
(3)设N是抛物线对称轴上的一个动点, .
探究:是否 存在一点N,使 的值最大?若存在,请直接写出点N的坐标和 的最大值;若不存在,请简单说明理由.
(2013•大兴安岭)如图,已知二次函数y = 过点A(1,0) C(0,-3)
(1)求此二次函数的解析式;
(2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10,请直接写出点P的坐标.
(2013•红河)如图,抛物线 与 轴交于A、B两点,与 轴交于C点,点P是抛物线上的一个动点且在第一象 限,过点P作x轴的垂线,垂足为D,交直线BC于点E.
(1)求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式;
(2)求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标;
(3)是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
解:(1)在 中,当 =0时,即 ,解得 .
当 时,即 ,解得 .
所以点 A、B、C的坐标依次是A(-2,0)、
B(2,0)、C(0,4).
设直线BC的解析式为 ( ),
则 ,解得 .
所以直线BC的解析式为 . ……………………… ………3分
(2)∵点E在直线BC上,∴设点E的坐标为 ,则△ 的面积S可表示为: .
∴当 时,△ODE的面积有最大值1.
此时, ,∴点E的坐标为(1,2). …………………5分
(3)存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似,理由如下:
设点P的坐标为 , .
因为△OAC与△OPD都是直角三角形,分两种情况:
①当△PDO∽△COA时, ,
,
解得 , (不符合题意,舍去).
当 时, .
此时,点P的坐标为 .
②当△PDO∽△AOC时, ,
,
解得 , (不符合题意,舍去).
当 时, = .
此时,点P的坐标为 .
综上可得,满足条件的点P有两个: