新课程“解决问题”型试题的问题设置
江苏省南京市教学研究室（210018） 李晓明
新课程实施以来，如何改进考试的评价方式和功能，体现新的评价要求，成为每个教学研究人员需要解决的问题．为此，我们在学习新“课标”中关于“知识与技能，数学思考，解决问题，情感与态度”要求的基础上，通过研讨和思考，改进试卷中主观性试题的呈现方式和评价功能，用解决问题这样的栏目，既体现“课标”中解决问题的学习要求，又反映综合题的考查目标．本文，笔者结合试题设计，谈谈解决问题型试题的问题设置和考评意图．
一、利用教材和“课标”中的素材进行问题设置
教材是学生学习的对象，“课标”是学生学习的标准和老师教学的要求；教材和“课标”中的很多素材既是学生熟悉的教学内容，又是检验教学质量的重要标准．以这些素材为原型进行问题设置，不仅贴近教学实际，反映基本问题的问题解决，而且使考试与评价改革具有可操作的特点，符合解决问题目标中提出的基本策略和多样化的学习要求．
例如，南京市2002年期未七年级（上）数学调研试卷第七题解决问题第30题：
30．在如图所示的2003年1月份日历中，用一个长方形的方框圈出任意3×3个数．
星期日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
5
12
19
26
6
13
20
27
7
14
21
28
1
8
15
22
29
2
9
16
23
30
3
10
17
24
31
4
11
18
25
a
b
c
d
e
f
g
h
i
（1）如果从左下角到右上角的“对角线”上的3个数字的和为45，那么这9个数的和为______，在这9个日期中，最后一天是_______号；（2）在这个月的日历中，用方框能否圈出“总和为162”的9个数？如果能，请求出这9个日期分别是几号；如果不能，请推测下个月的日历中，能否用方框圈出，并推测圈出的9个数中最后一天是星期几．
设计意图：通过学生熟悉的日历中的数学问题，用期末考试的2003年1月份作为背景设计问题，考查学生对日历中的数学知识和基本规律的掌握情况；在解决日历中存在性问题的过程中，考查解决问题的策略和结合实际问题的推理能力，达到解决问题的目的．
考评要点
（1）根据日历中问题的基本规律，迁移解决问题．
解法1 由；故这9个数的和为135；
根据这9个数中的中间数为135÷9＝15，所以这9个数中，最后一天为23号．
解法2 设中间数为x，则
由得 解得
∴．
因此这9个数的和为135；在这9个日期中，最后一天是23号．
（2）根据问题需要，建立方程模型，结合日历推理，解决实际问题．
设中间一数为x，由题意知，，解得；
观察2003年1月份的日历可知，18号在本月日历中位于最后一列，不符合方框圈出任意3×3个数的基本规律，所以不能圈出．
通过2003年1月份的日历可知，2003年2月份的第一天为星期六，按照日
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解决问题的基本方法；利用购物问题中的多种关系，考查学生用数学的意识，按分类思想进行分类讨论的策略，以及合理辨析解决实际问题的能力．
考评要点
（1）通过数据比较，回答问题．183－70×3×0.6＝183－126＝57（元）
（2）在理解问题的基础上，利用代数方法，分别建立方程模型，进而解决实际购物问题．
设甲班第一天买x瓶，则第二天买（70－x）瓶．分三种情况考虑：
当第一天购买不足20瓶时，则．解得：（不合题意）
当第一天购买在20瓶和30瓶之间时，则．解得：（符合题意）
当第一天购买超过30瓶时（不超过35瓶），二天均超过30瓶，则70×2.4＝168（不合题意）．
以实际生活中学生购物为背景设计的解决问题型试题，需要学生从数学的角度审视问题，理解问题，综合运用所学的打折知识、数据比较、方程模型解决问题：设计这个问题达到如下的目的：第一，提供学生用数学的机会，使问题贴近学生的思维特点，让学生感兴趣；第二，通过此问题的解决过程，考查学生建立数学模型解决问题的基本方法和基本策略，为解决类似的问题提供经验；第三，借助此题分类讨论的要求，培养学生的分类思想，提高在实际应用中解决问题的能力．
三、根据实际问题与数学模型间的关系进行问题设置
解决问题中的问题设置不能脱离学生的学习水平，不能脱离解决问题的基本方法从实际问题的解决过程看，经历了“实际问题→数学问题→数学模型→知识技能”的转化过程，其中，知识技能是解决问题的基础，数学模型是解决问题的关键；因此，根据实际问题转化为数学模型的过程进行问题设计，可以有效地通过问题串引导学生思考，进而掌握解决问题的基本策略．
例如，南京市2003年期末七年级（下）数学调研试卷第七题解决问题第30题：
30．小明站在池塘边的A点处，池塘的对面（小明的正北方向）B处有一棵小树，他想知道这棵树距离他有多远，于是他向正东方向走了10步到达电线杆C旁，接着再往前走了10步．到达D处，然后他改向正南方向继续行走，当小明看到电线杆C、小树B与自己现处的位置E在一条直线上时，他共走了45步．
（1）根据题意，画出示意图；
（2）如果小明一步大约40厘米，估算出小明在点A处时小树与他的距离，并说明理由．
设计意图：通过现实生活中的测量问题，考查学生把实际问题转化为数学问题的能力，以及利用全等三角形的数学模型解决问题的方法．
考评要点
（1）此题通过实际问题向数学问题转化的过程，引导学生用正确的图形反映位置和数量关系，关注学生在转化过程中对问题的思考，以及用图形表示实际问题的技能
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．（画图略）
（2）利用全等三角形的数学模型，寻找已知条件、待求距离与数学模型之间的关系，并用角边角来说明三角形全等，进而得出对应边相等，即小树B与小明在A处的距离为10米．
实际问题转化为数学模型是解决问题的需要，也是问题设置的思考点；从这题可以看出，用课本上的习题模型进行设计，改变设问的角度，隐去原有的图形与相关条件，赋与原题生活化的现实背景，给学生问题转化，寻找数学模型提供了平台，也为解决问题与课堂教学进行了很好地衔接．根据数学模型设计解决问题，不仅考查了数学模型的学习与应用，而且考查了实际问题转化过程中的审题、建构、方法等，这样的问题设置在方程模型、函数模型．代数式模型等考评中也有重要价值．
四、关注学用结合的实际需要进行问题设置
解决问题的问题设置除了关注实际问题转化为数学模型解决外，还非常关注用学到的数学知识和技能解决生活中的问题．对于用数学来解决问题，我们认为它比实际问题转化为数学模型更重要，更显出数学的价值和作用，更显出学习的目的和需要；根据解决问题栏目定位要求，我们设计“用数学”的问题时，考虑到如下的要素：首先反映思维价值，体现综合题的要求；其次，重视重要的基础知识基本技能的应用，突出用数学的意识；再次，重视解决问题的多样性，引导学生探索与创新．
例如，南京市2003年期末七年级（下）数学调研试卷第七题解决问题第31题：
31．小强和小勇利用课本上学过的知识来进行台球比赛：
（1）小强把白球放在如图所示的位置，想通过击打白球撞击黑球，使黑球撞AC边后反弹进F洞；想想看，小强这样击打，黑球能进F洞吗？请用画图的方法验证你的判断，并说出理由；
（2）小勇想通过去打白球撞击黑球，使黑球至多撞台球桌边一次后进A洞；请你猜测小勇有几种方案？并分别在下面的台球桌上画出示意图，解释你的理由．（下面给出相应的图形，供同学们画图和设计用）
设计意图：通过现实生活中的台球问题，考查学生用学到的知识与技能解决实际问题的能力，以及利用角、对称等知识设计解决问题的方案，形成多样化的解题策略．
考评要点
（1）利用作一个角等于已知角的方法画出黑球运动线路图或以AC边所在直线为轴作点F的对称点，利用点F、黑球、白球不在一条直线上，说明黑球不能进A洞的判断；
（2）方案有3种：（见下图，解释略）
这道题的设计避免了单纯的技能考查，使技能考查放在用数学的大背景中，也使知识与技能、过程与方法得到有机地结合，体现了解决问题的价值解决问题栏目中用数学的问题设置，强调问题的生活价值，突出知识与技能在问题中的应用，关注学生综合运用数学的能力，体现自主、探究的学习方式，对学生的创新意识的培养和应用意识的提高起到一定的作用，有助于体现新的评价功能．
综上所述，“解决问题”型试题的设计，通过实际问题研究解决方法，又通过数学方法解决实际问题，体现了解决问题的目的．这样的设计由于有了现实的背景和实际意义，因而符合学生的心理和认知特点；这样的设计由于注重了自主和方法，因而有利于学生的思维和创新．因此，加强试题创新，重视问题研究，对于培养学生的应用意识，提高学生的创新能力有非常积极的作用，也有助于改变应用型问题教学解题化的倾向．
本文选自《中小学数学·初中版》2004年第5期
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历的编排规律可推出2003年2月份的日历如下：
星期日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
2
9
16
23
3
10
17
24
4
11
18
25
5
12
19
26
6
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20
27
7
14
21
28
1
8
15
22
由上面2月份的日历可知，18日位于第三列，符合题目的要求．故在2003年2月份的日历中可以用方框圈出，圈出的9个数中，最后一天是星期三．选用日历中问题作为“解决问题”型试题，是想通过课本知识、方法的学习和现实生活中的具体应用，给学生提供基本问题研究和迁移的平台，让学生结合新的问题情境，学会把实际问题转化为基本的数学问题．此题借助课本、“课标”上的基本素材，进行了适当的延伸和拓展，设计时给出了“不确定”的问题背景，增加了问题的探索和解决价值，使试题源于教材和“课标”，又符合解决问题的需要．
二、把握解决问题的数学本质进行问题设置
新的课程标准中对解决问题提出了“初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识”的根本要求；因此，解决问题的问题设置应关注“用数学”的意识，便于让学生从数学角度看待问题．以及用双基解决这些问题．由于解决问题定位于综合题，因而，解决问题型试题的问题设置顾及了实际问题的解决需要，渗透重要的数学思想方法，全面考查学生的知识、技能、方法和思维．
例如，南京市2003年期末七年级（上）数学调研试卷第七题解决问题第31题．
31．秋季运动会前甲、乙两班学生到红星超市去购买某种品牌的矿泉水，红星超市对该品牌矿泉水的销售方法如下：“购买不超过30瓶，按零售价销售，每瓶3元；购买30瓶但不超过50瓶，按批发价销售，售价是零售价的八折；购买超过50瓶，按批发价销售，售价是零售价的六折．”甲班分两天两次共购买矿泉水70瓶（第二天多于第一天），共付出183元，而乙班则一次购买矿泉水70瓶．
（1）乙班比甲班少付出多少元？
（2）甲班第一天、第二天分别购买矿泉水多少瓶？
设计意图：通过学生熟悉的生活中的购物问题，考查学生提出问题、理解问题的能力，以及建立数学模型
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