考点： 一次函数综合题．
分析： （1）利用梯形性质确定点D的坐标，利用sin∠DAB= 特殊三角函数值，得到△AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式；
（2）解答本问，需要弄清动点的运动过程：
①当0＜t≤1时，如答图1所示；
②当1＜t≤2时，如答图2所示；
③当2＜t＜ 时，如答图3所示．[来源:学科网ZXXK]
（3）本问考查二次函数与一次函数在指定区间上的极值，根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值；
（4）△QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论，避免漏解．
解答： 解：（1）∵C（7，4），AB∥CD，
∴D（0，4）．
∵sin∠DAB= ，
∴∠DAB=45°，
∴OA=OD=4，
∴A（﹣4，0）．
设直线l的解析式为：y=kx+b，则有
 ，
解得：k=1，b=4，
∴y=x+4．
∴点A坐标为（﹣4，0），直线l的解析式为：y=x+4．

（2）在点P、Q运动的过程中：
①当0＜t≤1时，如答图1所示：
 
过点C作CF⊥x轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．
过点Q作QE⊥x轴于点E，则BE=BQ•cos∠CBF=5t• =3t．
∴PE=PB﹣BE=（14﹣2t）﹣3t=14﹣5t，
S= PM•PE= ×2t×（14﹣5t）=﹣5t2+14t；
②当1＜t≤2时，如答图2所示：
 
过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，
则CQ=5t﹣5，PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣（5t﹣5）=16﹣7t，
S= PM•PE= ×2t×（16﹣7t）=﹣7t2+16t；
③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，
即（2t﹣4）+（5t﹣5）=7，解得t= ．
当2＜t＜ 时，如答图3所示：
 
MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，
S= PM•MQ= ×4×（16﹣7t）=﹣14t+32．

（3）①当0＜t≤1时，S=﹣5t2+14t=﹣5（t﹣ ）2+ ，
∵a=﹣5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t= ，
∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大，
∴当t=1时，S有最大值，最大值为9；
②当1＜t≤2时，S=﹣7t2+16t=﹣7（t﹣ ）2+ ，
∵a=﹣7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t= ，
∴当t= 时，S有最大值，最大值为 ；
③当2＜t＜ 时，S=﹣14t+32
∵k=﹣14＜0，
∴S随t的增大而减小．
又∵当t=2时，S=4；
当t= 时，S=0，
∴0＜S＜4．
综上所述，当t= 时，S有最大值，最大值为 ．

（4）△QMN为等腰三角形，有两种情形：
①如答图4所示，点M在线段CD上，
MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，MN=DM=2t﹣4，
由MN=MQ，得16﹣7t=2t﹣4，解得t= ；
 
②如答图5所示，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，
此时△QMN为等腰三角形，t= ．
故当t= 或t= 时，△QMN为等腰三角形．
点评： 本题是典型的运动型综合题，难度较大，解题关键是对动点运动过程有清晰的理解．第（3）问中，考查了指定区间上的函数极值，增加了试题的难度；另外，分类讨论的思想贯穿（2）﹣（4）问始终，同学们需要认真理解并熟练掌握．

44、（2013•宁波压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．
 
 （1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．
①求证：∠BDE=∠ADP；
②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；
（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．

考点： 一次函数综合题．
分析： （1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，把（4，0）代入即可；
（2）①先证出△BOD≌△COD，得出∠BOD=∠CDO，再根据∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP，
②先连结PE，根据∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再证出∠DFE=∠DPE=45°，最后根据∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，从而求出DF= DE，即y= x；
（3）当 =2时，过点F作FH⊥OB于点H，则∠DBO=∠BFH，再证出△BOD∽△FHB， = = =2，得出FH=2，OD=2BH，再根据∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，得出四边形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4﹣OD，根据DE=EF，求出OD的长，从而得出直线CD的解析式为y=x+，最后根据 求出点P的坐标即可；
当 =时，连结EB，先证出△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，同理可得△BOD∽△FGB， = = =，得出FG=8，OD=BG，再证出四边形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直线CD的解析式，最后根据 即可求出点P的坐标．
解答： 解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，
代入（4，0）得：4k+4=0，
解得：k=﹣1，
则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4；

（2）①由已知得：
OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，
又∵OD=OD，
∴△BOD≌△COD，
∴∠BOD=∠CDO，
∵∠CDO=∠ADP，
∴∠BDE=∠ADP，
②连结PE，
∵∠ADP是△DPE的一个外角，
∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，
∵∠BDE是△ABD的一个外角，
∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，
∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，
∴∠DPE=∠OAB，
∵OA=OB=4，∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°，
∴∠DPE=45°，
∴∠DFE=∠DPE=45°，
∵DF是⊙Q的直径，
∴∠DEF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DF= DE，即y= x；

（3）当BD：BF=2：1时，
过点F作FH⊥OB于点H，
∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，
∴∠DBO=∠BFH，
又∵∠DOB=∠BHF=90°，
∴△BOD∽△FHB，
∴ = = =2，
∴FH=2，OD=2BH，
∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，
∴四边形OEFH是矩形，
∴OE=FH=2，
∴EF=OH=4﹣OD，
∵DE=EF，
∴2+OD=4﹣OD，
解得：OD=，
∴点D的坐标为（0，），
∴直线CD的解析式为y=x+，
由 得： ，
则点P的坐标为（2，2）；
当 =时，
连结EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，
而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，
∵∠DEP=∠DPA，
∴∠DBE=∠DAP=45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
过点F作FG⊥OB于点G，
同理可得：△BOD∽△FGB，
∴ = = =，
∴FG=8，OD=BG，
∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，
∴四边形OEFG是矩形，
∴OE=FG=8，
∴EF=OG=4+2OD，
∵DE=EF，
∴8﹣OD=4+2OD，
OD= ，
∴点D的坐标为（0，﹣ ），
直线CD的解析式为：y=﹣ x﹣ ，
由 得： ，
∴点P的坐标为（8，﹣4），
综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，﹣4）．
 
 
 
点评： 此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是一次函数、矩形的性质、圆的性质，关键是综合运用有关知识作出辅助线，列出方程组．

45、（2013济宁压轴题）如图，直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．
（1）求点P运动的速度是多少？
（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？
（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．
 
考点：一次函数综合题．
分析：（1）根据直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP∥BO，得出 = =，据此可以求得点P的运动速度；
（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可；
（3）根据（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可．
解答：解：（1）∵直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，
∴x=0时，y=4，y=0时，x=8，
∴ ==，
当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，
∵EP∥BO，
∴ = =，
∴AP=2t，
∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，
∴点P运动的速度是每秒2个单位长度；
（2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，
则∵OQ=FQ=t，PA=2t，
∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t，
∴8﹣3t=t，
解得：t=2，
如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，
∵OQ=t，PA=2t，
∴OP=8﹣2t，
∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8，
∴t=3t﹣8，
解得：t=4；
（3）如图1，当Q在P点的左边时，
∵OQ=t，PA=2t，
∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t，
∴S矩形PEFQ=QP•QF=（8﹣3t）•t=8t﹣3t2，
当t=﹣ =时，
S矩形PEFQ的最大值为： =4，
如图2，当Q在P点的右边时，
∵OQ=t，PA=2t，
∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8，
∴S矩形PEFQ=QP•QE=（3t﹣8）•t=3t2﹣8t，
∵当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，
∴0≤t≤4，
当t=﹣ =时，S矩形PEFQ的最小，
∴t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：3×42﹣8×4=16，
综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：16．
 
 
点评：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出P，Q不同的位置进行分类讨论得出是解题关键．　

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