35、（2013•呼和浩特）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，
（1） 的值为　 　；
（2）求证：AE=EP；
（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
 

考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．3718684
分析： （1）由正方形的性质可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证得：∠BAE=∠CEF，根据同角的正弦值相等即可解答；
（2）在BA边上截取BK=NE，连接KE，根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，结合∠KAE=∠CEP，证明△AKE≌△ECP，于是结论得出；
（3）作DM⊥AE于AB交于点M，连接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知条件证明△ADM≌△BAE，进而证明MD=EP，四边形DMEP是平行四边形即可证出．
解答： （1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D，
∵∠AEP=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在Rt△ABE中，AE= = ，
∵sin∠BAE= =sin∠FEC= ，
∴ = ，

（2）证明：在BA边上截取BK=NE，连接KE，
∵∠B=90°，BK=BE，
∴∠BKE=45°，
∴∠AKE=135°，
∵CP平分外角，
∴∠DCP=45°，
∴∠ECP=135°，
∴∠AKE=∠ECP，
∵AB=CB，BK=BE，
∴AB﹣BK=BC﹣BE，
即：AK=EC，
易得∠KAE=∠CEP，
∵在△AKE和△ECP中，
 ，
∴△AKE≌△ECP（ASA），
∴AE=EP；

（3）答：存在．
证明：作DM⊥AE于AB交于点M，
则有：DM∥EP，连接ME、DP，
∵在△ADM与△BAE中，
 ，
∴△ADM≌△BAE（AAS），
∴MD=AE，
∵AE=EP，
∴MD=EP，
∴MD EP，
∴四边形DMEP为平行四边形．
 
点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．
　
36、（2013泰安）如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），反比例函数y=的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过点A，
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．
 
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：（1）先根据正方形的性质求出点C的坐标为（5，﹣3），再将C点坐标代入反比例函数y=中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理，将点A，C的坐标代入一次函数y=ax+b中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式；
（2）设P点的坐标为（x，y），先由△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，列出关于x的方程，解方程求出x的值，再将x的值代入y=﹣ ，即可求出P点的坐标．
解答：解：（1）∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），
∴AB=5，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点C的坐标为（5，﹣3）．
∵反比例函数y=的图象经过点C，
∴﹣3=，解得k=﹣15，
∴反比例函数的解析式为y=﹣ ；
∵一次函数y=ax+b的图象经过点A，C，
∴ ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为y=﹣x+2；
（2）设P点的坐标为（x，y）．
∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，
∴×OA•|x|=52，
∴×2|x|=25，
解得x=±25．
当x=25时，y=﹣ =﹣；
当x=﹣25时，y=﹣ =．
∴P点的坐标为（25，﹣）或（﹣25，）．
点评：本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，难度适中．运用方程思想是解题的关键．

37、（2013•资阳）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．
（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；
（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以 cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；
①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．
②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．
 

考点： 四边形综合题
分析： （1）证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；
（2）①首先证明△AFE∽△CDE，利用比例式求出时间t= a，进而得到CM= a= CD，所以该命题为真命题；
②若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形，需要分类讨论．
解答： （1）证明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，
∴∠ADF=∠DCN．
在△ADF与△DNC中，
 ，
∴△ADF≌△DNC（ASA），
∴DF=MN．

（2）解：①该命题是真命题．
理由如下：当点F是边AB中点时，则AF= AB= CD．
∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，
∴ ，
∴AE= EC，则AE= AC= a，
∴t= = a．
则CM=1•t= a= CD，
∴点M为边CD的三等分点．
②能．理由如下：
易证AFE∽△CDE，∴ ，即 ，得AF= ．
易证△MND∽△DFA，∴ ，即 ，得ND=t．
∴ND=CM=t，AN=DM=a﹣t．
若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：
（I）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM，
∴AF=DM，即 =t，得t=0，不合题意．
∴此种情形不存在；
（II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，
∴t= a，此时点F与点B重合；
（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：
 
易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a﹣t；
又由△NDM∽△DCF，∴ ，即 ，∴FC= ．
∴ =a﹣t，
∴t=a，此时点F与点C重合．
综上所述，当t=a或t= a时，△MNF能够成为等腰三角形．
点评： 本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解．

38、（2013杭州压轴题）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1．
（1）求证：∠APE=∠CFP；
（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x， ．
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；
②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．
 
考点：四边形综合题．
分析：（1）利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论；
（2）本问关键是求出y与x之间的函数解析式．
①首先分别用x表示出S1与S2，然后计算出y与x的函数解析式．这是一个二次函数，求出其最大值；
②注意中心对称、轴对称的几何性质．
解答：（1）证明：∵∠EPF=45°，
∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135°；
而在△PFC中，由于PF为正方形ABCD的对角线，则∠PCF=45°，
则∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135°，
∴∠APE=∠CFP．
（2）解：①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°，
∴△APE∽△CPF，则 ．
而在正方形ABCD中，AC为对角线，则AC= AB= ，
又∵P为对称中心，则AP=CP= ，
∴AE= = =．
如图，过点P作PH⊥AB于点H，PG⊥BC于点G，
 
P为AC中点，则PH∥BC，且PH=BC=2，同理PG=2．
S△APE= =×2×=，
∵阴影部分关于直线AC轴对称，
∴△APE与△APN也关于直线AC对称，
则S四边形AEPN=2S△APE= ；
而S2=2S△PFC=2× =2x，
∴S1=S正方形ABCD﹣S四边形AEPN﹣S2=16﹣ ﹣2x，
∴y= = = +﹣1．
∵E在AB上运动，F在BC上运动，且∠EPF=45°，
∴2≤x≤4．
令=a，则y=﹣8a2+8a﹣1，当a= =，即x=2时，y取得最大值．
而x=2在x的取值范围内，代入x=2，则y最大=4﹣2﹣1=1．
∴y关于x的函数解析式为：y= +﹣1（2≤x≤4），y的最大值为1．
②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称，
而此两块图形也关于直线AC成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线BD对称，
则EB=BF，即AE=FC，
∴=x，解得x= ，
代入x= ，得y= ﹣2．
点评：本题是代数几何综合题，考查了正方形的性质、相似三角形、二次函数的解析式与最值、几何变换（轴对称与中心对称）、图形面积的计算等知识点，涉及的考点较多，有一定的难度．本题重点与难点在于求出y与x的函数解析式，在计算几何图形面积时涉及大量的计算，需要细心计算避免出错．　

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