2012高考文科试题解析分类汇编：导数
1.【2012高考重庆文8】设函数 在 上可导，其导函数 ，且函数 在 处取得极小值，则函数 的图象可能是
【答案】C
【解析】：由函数 在 处取得极小值可知 ， ，则 ； ， 则 时 ， 时
【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题．
2.【2012高考浙江文10】设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数
A. 若ea+2a=eb+3b，则a＞b
B. 若ea+2a=eb+3b，则a＜b
C. 若ea-2a=eb-3b，则a＞b
D. 若ea-2a=eb-3b，则a＜b
【答案】A
【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用，通过构造法技巧性方法确定函数的单调性.
【解析】若 ，必有 ．构造函数： ，则 恒成立，故有函数 在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除．
3.【2012高考陕西文9】设函数f（x）= +lnx 则 （ ）
A．x= 为f(x)的极大值点 B．x= 为f(x)的极小值点
C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点
【答案】D.
【解析】 ，令 ，则 ．
当 时， ；
当 时， ．
即当 时， 是单调递减的；当 时， 是单调递增的．
所以 是 的极小值点．故选D．
4.【2012高考辽宁文8】函数y= x2 ㏑x的单调递减区间为
（A）（ 1,1] （B）（0,1] （C.）[1，+∞） （D）（0，+∞）
【答案】B
【命题意图】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。
【解析】 故选B
5.【2102高考福建文12】已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：
①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0.
其中正确结论的序号是
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
【答案】C．
考点：导数。
难度：难。
分析：本题考查的知识点为导数的计算，零点问题，要先分析出函数的性质，结合图形来做。
解答： ，
导数和函数图像如下：
由图 ，
，
且 ，
所以 。
6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4， 2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为
(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 8
【答案】C
【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。
【解析】因为点P，Q的横坐标分别为4， 2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.由 所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4， 2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为 联立方程组解得 故点A的纵坐标为 4
【点评】曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。
7.【2012高考新课标文13】曲线y=x(3lnx+1)在点 处的切线方程为________
【答案】
【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程，是简单题.
【解析】∵ ，∴切线斜率为4，则切线方程为： .
8.【2012高考上海文13】已知函数 的图像是折线段 ，其中 、 、 ，函数 （ ）的图像与 轴围成的图形的面积为
【答案】 。
【解析】根据题意，得到 ，
从而得到 所以围成的面积为 ，所以围成的图形的面积为 .
【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.
9【2102高考北京文18】（本小题共13分）
已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。
若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值；
当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围。
【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目，考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容。也是学生掌握比较好的知识点，在题目占能够发现 和分析出区间 包含极大值点 ，比较重要。
解：（1） ， .因为曲线 与曲线 在它们的交点 处具有公共切线，所以 ， ．即 且 ．解得
（2）记
当 时， ，
令 ，解得： ， ；
与 在 上的情况如下：
1 （1,2） 2
+ 0 — 0 +
28 -4 3
由此可知：
当 时，函数 在区间 上的最大值为 ；
当 时，函数 在区间 上的最大值小于28.
因此， 的取值范围是
10.【2012高考江苏18】（16分）若函数 在 处取得极大值或极小值，则称 为函数 的极值点。
已知 是实数，1和 是函数 的两个极值点．
（1）求 和 的值；
（2）设函数 的导函数 ，求 的极值点；
（3）设 ，其中 ，求函数 的零点个数．
【答案】解：（1）由 ，得 。
∵1和 是函数 的两个极值点，
∴ ， ，解得 。
（2）∵ 由（1）得， ，
∴ ，解得 。
∵当 时， ；当 时， ，
∴ 是 的极值点。
∵当 或 时， ，∴ 不是 的极值点。
∴ 的极值点是－2。
（3）令 ，则 。
先讨论关于 的方程 根的情况：
当 时，由（2 ）可知， 的两个不同的根为I 和一2 ，注意到 是奇函数，∴ 的两个不同的根为一和2。
当 时，∵ ， ，
∴一2 , －1，1 ，2 都不是 的根。
由（1）知 。
① 当 时， ，于是 是单调增函数，从而 。
此时 在 无实根。
② 当 时． ，于是 是单调增函数。
又∵ ， ， 的图象不间断，
∴ 在（1 , 2 ）内有唯一实根。
同理， 在（一2 ，一I ）内有唯一实根。
③ 当 时， ，于是 是单调减两数。
又∵ ， ， 的图象不间断，
∴ 在（一1，1 ）内有唯一实根。
因此，当 时， 有两个不同的根 满足 ；当 时
有三个不同的根 ，满足 。
现考虑函数 的零点：
( i ）当 时， 有两个根 ，满足 。
而 有三个不同的根， 有两个不同的根，故 有5 个零点。
( 11 ）当 时， 有三个不同的根 ，满足 。
而 有三个不同的根，故 有9 个零点。
综上所述，当 时，函数 有5 个零点；当 时，函数 有9 个零点。
【考点】函数的概念和性质，导数的应用。
【解析】（1）求出 的导数，根据1和 是函数 的两个极值点代入列方程组求解即可。
（2）由（1）得， ，求出 ，令 ，求解讨论即可。
（3）比较复杂，先分 和 讨论关于 的方程 根的情况；再考虑函数 的零点。
11.【2012高考天津文科20】（本小题满分14分）
已知函数 ，x 其中a>0.
（I）求函数 的单调区间；
（II）若函数 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
（III）当a=1时，设函数 在区间 上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间 上的最小值。
【解析】(Ⅰ)
或 ，
得：函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
(Ⅱ) 函数 在 内单调递增，在 内单调递减
原命题 （lfxlby）
（III）当 时，
在 上单调递增,在 上单调递减
当
当
得：函数 在区间 上的最小值为
12.【2012高考广东文21】（本小题满分14分）
设 ，集合 ， ， .
（1）求集合 （用区间表示）
（2）求函数 在 内的极值点.
【解析】（1）令 ，
。
① 当 时， ，
方程 的两个根分别为 ， ，
所以 的解集为 。
因为 ，所以 。
② 当 时， ，则 恒成立，所以 ，
综上所述，当 时， ；
当 时， 。
（2） ，
令 ，得 或 。
① 当 时，由（1）知 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 随 的变化情况如下表：
↗ 极大值 ↘ ↗
所以 的极大值点为 ，没有极小值点。
② 当 时，由（1）知 ，
所以 随 的变化情况如下表：
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以 的极大值点为 ，极小值点为 。
综上所述，当 时， 有一个极大值点 ，没有极小值点；
当 时， 有一个极大值点 ，一个极小值点 。
13.【2102高考福建文22】（本小题满分14分）
已知函数 且在 上的最大值为 ，
（1）求函数f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。
考点：导数，函数与方程。
难度：难。
分析：本题考查的知识点为导数的计算，利用函数与方程的思想解决根个数的问题。
解答：
（I） 在 上恒成立，且能取到等号
在 上恒成立，且能取到等号
在 上单调递增
（lfxlby）
（II）
①当 时， 在 上单调递增
在 上有唯一零点
②当 时， 当 上单调递减
存在唯一 使
得： 在 上单调递增， 上单调递减
得： 时， ，
时， ， 在 上有唯一零点
由①②得：函数 在 内有两个零点。
14.【2012高考四川文22】(本小题满分14分)
已知 为正实数， 为自然数，抛物线 与 轴正半轴相交于点 ，设 为该抛物线在点 处的切线在 轴上的截距。
（Ⅰ）用 和 表示 ；
（Ⅱ）求对所有 都有 成立的 的最小值；
（Ⅲ）当 时，比较 与
的大小，并说明理由。
命题立意：本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想
[解析]（1）由已知得，交点A的坐标为 ，对
则抛物线在点A处的切线方程为：
………………4分
（2）由（1）知f(n)= ,则
即知， 对于所有的n成立，
特别地，当n=1时，得到a≥3
当a=3，n≥1时，
当n=0时， =2n+1.故a=3时 对所有自然数n均成立.
所以满足条件的a的最小值为3. ………………………………………………8分
（3）由（1）知f(k)=
下面证明：
首先证明0<x<1时，
设函数g(x)=6x(x2-x)+1,0<x<1, 则 .
当 时,g'(x)<0; 当
故g（x）在区间（0，1）上的最小值
所以，当0<x<1时，g（x）>0,即得
由0<a<1知
[点评]本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。
15.【2012高考湖南文22】本小题满分13分）
已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.
（1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；[z
（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈（x1,x2）,使 恒成立.
【答案】解： 令 .
当 时 单调递减；当 时 单调递增，故当 时， 取最小值
于是对一切 恒成立，当且仅当
. ①
令 则
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减.
故当 时， 取最大值 .因此，当且仅当 时，①式成立.
综上所述， 的取值集合为 .
（Ⅱ）由题意知，
令 则
令 ，则 .
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增.
故当 ， 即
从而 ， 又
所以
因为函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在
使 即 成立.
【解析】
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出 取最小值 对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为 从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.
16.【2012高考新课标文21】（本小题满分12分）
设函数f(x)= ex－ax－2
(Ⅰ)求f(x)的单调区间
(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值
【答案】
17.【2012高考重庆文17】（本小题满分13分）已知函数 在 处取得极值为
（1）求a、b的值；（2）若 有极大值28，求 在 上的最大值．
【解析】（Ⅰ）因 故 由于 在点 处取得极值
故有 即 ，化简得 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
令 ，得 当 时， 故 在 上为增函数；
当 时， 故 在 上为减函数
当 时 ，故 在 上为增函数。
由此可知 在 处取得极大值 ， 在 处取得极小值 由题设条件知 得 此时 ， 因此 上 的最小值为
18.【2012高考湖北文22】（本小题满分14分）
设函数 ，n为正整数，a,b为常数，曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的切线方程为x+y=1.
（1）求a,b的值；
（2）求函数f(x)的最大值
（3）证明：f(x)< .
解：（Ⅰ）因为 ，由点 在 上，可得 ，即 .
因为 ，所以 .
又因为切线 的斜率为 ，所以 ，即 . 故 ， .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， .
令 ，解得 ，即 在 上有唯一零点 .
在 上， ，故 单调递增；
而在 上， ， 单调递减.
故 在 上的最大值为 .
（Ⅲ）令 ，则 .
在 上， ，故 单调递减；
而在 上 ， 单调递增.
故 在 上的最小值为 . 所以 ，
即 .
令 ，得 ，即 ，
所以 ，即 .
由（Ⅱ）知， ，故所证不等式成立.
【解析】本题考查多项式函数的求导，导数的几何意义，导数判断函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值，最值等；另外，要注意含有 等的函数求导的运算及其应用考查.
19.【2012高考安徽文17】（本小题满分12分）
设定义在（0，+ ）上的函数
（Ⅰ）求 的最小值；
（Ⅱ）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值。
【解析】（I）（方法一） ，
当且仅当 时， 的最小值为 。
（II）由题意得： ， ①
， ②
由①②得： 。
20.【2012高考江西文21】（本小题满分14分）
已知函数f(x)=（ax2+bx+c）ex在 上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0.
（1）求a的取值范围；
（2）设g(x)= f(-x)- f′(x)，求g(x)在 上的最大值和最小值。
【解析】（1） ， ，
在 上恒成立(*)
(*)
（2）
①当 时， 在 上单调递增
得：
②当 时，
得： 在 上的最小值是 中的最小值
当 时，
当 时，
求最大值：当 时，
当 时，
得：当 时， ， 当 时，
时， ， 时，
21.【2012高考辽宁文21】(本小题满分12分)
设 ，证明：
(Ⅰ)当x﹥1时， ﹤ （ ）
(Ⅱ)当 时，
【命题意图】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力，难度较大。
【解析】(Ⅰ)(法1)记 = ，
则当 ＞1时， = ，
又∵ ，∴ ＜0，即 ＜ ； ……4分
（法2）由均值不等式，当 ＞1时， ，∴ ， ①
令 ，则 ， ，∴ ，即 ， ②
由①②得，当 ＞1时， ＜ . ……4分
(Ⅱ)（法1）记 ，由(Ⅰ)得，
= = ＜ = ，
令 = ，则当 时， =
∴ 在（1,3）内单调递减，又 ，∴ ＜0，
∴当1＜ ＜3时， . ……12分
（证法2）记 = ，则当当1＜ ＜3时，
= ＜
= ＜
= ＜0. ……10分
∴ 在（1,3）内单调递减，又 ，∴ ＜0，
∴当1＜ ＜3时， . ……12分
22.【2012高考浙江文21】（本题满分15分）已知a∈R，函数
（1）求f(x)的单调区间
（2）证明：当0≤x≤1时，f(x)+ ＞0.
【答案】
【解析】（1）由题意得 ，
当 时， 恒成立，此时 的单调递增区间为 .
当 时， ，此时函数 的单调递增区间为 .
(2)由于 ，当 时， .
当 时， .
设 ，则 .
则有
1 减 极小值 增 1
所以 .
当 时， .
故 .
23.【2012高考全国文21】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）设 有两个极值点 ，若过两点 ， 的直线 与 轴的交点在曲线 上，求 的值。
【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一问就是三次函数，通过求解导数求解单调区间。另外就是运用极值概念，求解参数值的运用。
解：（1）依题意可得
当 即 时， 恒成立，故 ，所以函数 在 上单调递增；
当 即 时，
有两个相异实根 且
故由 或 ，此时 单调递增
由 ，此时此时 单调递增递减
综上可知
当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 单调递增，在 单调递减。
（2）由题设知， 为方程 的两个根，故有
因此
同理
因此直线 的方程为
设 与 轴的交点为 ，得
而
由题设知，点 在曲线 的上，故 ，解得 或 或
所以所求 的值为 或 或 。
【点评】试题分为两问，题面比较简单，给出的函数比较常规，这一点对于同学们来说没有难度，但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响，求解函数的单调区间。第二问中，运用极值的问题，和直线方程的知识求解交点，得到参数的值。
24.【2012高考山东文22】 (本小题满分13分)
已知函数 为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线 在点 处的切线与x轴平行.
(Ⅰ)求k的值；
(Ⅱ)求 的单调区间；
(Ⅲ)设 ，其中 为 的导函数.证明：对任意 .
【答案】(I) ，
由已知， ，∴ .
(II)由(I)知， .
设 ，则 ，即 在 上是减函数，
由 知，当 时 ，从而 ，
当 时 ，从而 .
综上可知， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
(III)由(II)可知，当 时， ≤0＜1+ ，故只需证明 在 时成立.
当 时， ＞1，且 ，∴ .
设 ， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得最大值 .
所以 .
综上，对任意 ， .
25.【2012高考陕西文21】 （本小题满分14分）
设函数
（1）设 ， ，证明： 在区间 内存在唯一的零点；
（2）设n为偶数， ， ，求b+3c的最小值和最大值；
（3）设 ，若对任意 ，有 ，求 的取值范围；
【解析】（Ⅰ）当
．
又当 ，
．
（Ⅱ）解法一：由题意，知 即
由图像，知 在点 取到最小值-6，在点 取到最大值0．
∴ 的最小值是-6，最大值是0．
解法二：由题意，知 ，即 ； ①
，即 ． ②
①×2+②，得 ，
当 时， ；当 ， ．
∴ 的最小值是-6，最大值是0．
解法三：由题意，知
解得 ， ．
∴ ．
又∵ ， ，∴ ．
当 时， ；当 ， ．
∴ 的最小值是-6，最大值是0．
（2）当 时， ．
对任意 上的最大值
与最小值之差 ,据此分类讨论如下：
（ⅰ） ， ．
（ⅱ） ，
．
（ⅲ） ，
．
综上可知， ．
注：（ⅱ）（ⅲ）也可合并并证明如下：
用 ，当 ，
【解析】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力，难度较大。