2012年高考真题理科数学解析分类汇编3 导数
一、选择题
1.【2012高考重庆理8】设函数 在R上可导，其导函数为 ，且函数 的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
（A）函数 有极大值 和极小值
（B）函数 有极大值 和极小值
（C）函数 有极大值 和极小值
（D）函数 有极大值 和极小值
【答案】D
【解析】由图象可知当 时， ，所以此时 ，函数递增.当 时， ，所以此时 ，函数递减.当 时， ，所以此时 ，函数递减.当 时， ，所以此时 ，函数递增.所以函数 有极大值 ，极小值 ,选D.
2.【2012高考新课标理12】设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 最小值为（ ）
【答案】B
【解析】函数 与函数 互为反函数，图象关于 对称
函数 上的点 到直线 的距离为
设函数
由图象关于 对称得： 最小值为 ,
3.【2012高考陕西理7】设函数 ，则（ ）
A. 为 的极大值点 B. 为 的极小值点
C. 为 的极大值点 D. 为 的极小值点[学
【答案】D.
【解析】 ，令 ，则 ，当 时 ，当 时 ，所以 为 极小值点，故选D.
4.【2012高考辽宁理12】若 ，则下列不等式恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【命题意图】本题主要考查不等式恒成立问题，是难题.
【解析】法1：验证A，当 ，故排除A；验证B，当 ，
，而 ，故排除B；
验证C，令 ，显然 恒成立
所以当 ， ，所以 ， 为增函数，所以
，恒成立，故选C；验证D，令
，令 ，解得 ，所以当 时， ，显然不恒成立，故选C.
法2：设 ，则
所以 所以当 时，
同理 即 ，故选C
【点评】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力，难度较大。
5.【2012高考湖北理3】已知二次函数 的图象如图所示，则它与 轴所围图形的面积为
A． B．
C． D．
【答案】B
考点分析：本题考察利用定积分求面积.
【解析】根据图像可得： ，再由定积分的几何意义，可求得面积为 .
6.【2012高考全国卷理10】已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝
（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1
【答案】A
【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用。要是函数图像与 轴有两个不同的交点，则需要满足极佳中一个为零即可。
【解析】若函数 的图象与 轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为 ，令 ，解得 ，可知当极大值为 ，极小值为 .由 ，解得 ，由 ，解得 ，所以 或 ，选A.
二、填空题
7.【2012高考浙江理16】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______。
【答案】
【解析】曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为 ，
曲线C1：y=x2+a对应函数的导数为 ，令 得 ，所以C1：y=x2+a上的点为 ，点 到到直线l:y=x的距离应为 ，所以 ，解得 或 （舍去）。
8.【2012高考江西理11】计算定积分 ___________。
【答案】
【命题立意】本题考查有关多项式函数，三角函数定积分的应用.
【解析】 。
9.【2012高考山东理15】设 .若曲线 与直线 所围成封闭图形的面积为 ，则 ______.
【答案】
【解析】由已知得 ，所以 ，所以 。
10.【2012高考广东理12】曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】 ，当 时， ，此时 ，故切线方程为 ，即 。
11.【2012高考上海理13】已知函数 的图象是折线段 ，其中 、 、 ，函数 （ ）的图象与 轴围成的图形的面积为 。
【答案】
【解析】当 ，线段 的方程为 ，当 时。线段 方程为 ，整理得 ，即函数 ，所以 ，函数与 轴围成的图形面积为 。
【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.
12.【2012高考陕西理14】设函数 ， 是由 轴和曲线 及该曲线在点 处的切线所围成的封闭区域，则 在 上的最大值为 .
【答案】2．
【解析】函数 在点 处的切线为 ，即 .所以D表示的平面区域如图 当目标函数直线经过点M时 有最大值，最大值为 .
三、解答题
13.【2012高考广东理21】（本小题满分14分）
设a＜1，集合 ， ， 。
（1）求集合D（用区间表示）；
（2）求函数 在D内的极值点．
【答案】本题是一个综合性问题，考查集合与导数的相关知识，考查了学生综合解决问题的能力，难度较大.
【解析】（1）对于方程
判别式
因为 ，所以
① 当 时， ，此时 ，所以 ；
② 当 时， ，此时 ，所以 ；
当 时， ，设方程 的两根为 且 ，则
，
③ 当 时， ， ，所以
此时，
④ 当 时， ，所以
此时，
（2） ，
所以函数 在区间 上为减函数，在区间 和 上为增函数
① 是极点
② 是极点
得： 时，函数无 极值点， 时，函数 极值点为 ，
时，函数 极值点为 与
14.【2012高考安徽理19】（本小题满分13分）
设 。
（I）求 在 上的最小值；
（II）设曲线 在点 的切线方程为 ；求 的值。
【答案】本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查分类讨论思想，代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。
【解析】（I）设 ；则 ，
①当 时， 在 上是增函数，
得：当 时， 的最小值为 。
②当 时， ，
当且仅当 时， 的最小值为 。
（II） ，
由题意得： 。
15.【2012高考福建理20】（本小题满分14分）已知函数f（x）=ex＋ax2-ex，a∈R.
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.
【答案】本题主要考查函数导数的应用、二次函数的性质、函数零点的存在性定理等基础知识，考查推理论证能力、基本运算能力、抽象概括能力，以及分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想.
解答：
（Ⅰ）
由题意得：
得：函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
（Ⅱ）设 ； 则过切点 的切线方程为
令 ；则
切线与曲线只有一个公共点 只有一个根
，且
（1）当 时，
得：当且仅当 时，
由 的任意性， 不符合条件（lby lfx）
（2）当 时，令
①当 时，
当且仅当 时， 在 上单调递增
只有一个根
②当 时，
得： ，又
存在两个数 使，
得： 又
存在 使 ，与条件不符。
③当 时，同理可证，与条件不符
从上得：当 时，存在唯一的点 使该点处的切线与曲线只有一个公共点
16.【2012高考全国卷理20】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.
【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一就是函数中有三角函数，要利用三角函数的有界性，求解单调区间。另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的运用。
解： 。
（Ⅰ）因为 ，所以 。
当 时， ， 在 上为单调递增函数；
当 时， ， 在 上为单调递减函数；
当 时，由 得 ，
由 得 或 ；
由 得 。
所以当 时 在 和 上为为单调递增函数；在 上为单调递减函数。
（Ⅱ）因为
当 时， 恒成立
当 时，
令 ，则
又令 ，则
则当 时， ，故 ， 单调递减
当 时， ，故 ， 单调递增
所以 在 时有最小值 ，而
，
综上可知 时， ，故 在区间 单调递
所以
故所求 的取值范围为 。
另解：由 恒成立可得
令 ，则
当 时， ，当 时，
又 ，所以 ，即
故当 时，有 （lbylf x）
①当 时， ， ，所以
②当 时，
综上可知故所求 的取值范围为 。
【点评】试题分为两问，题词面比较简单，给出的函数比较新颖，因为里面还有三角函数，这一点对于同学们来说有点难度，不同于平时的练习题，相对来说做得比较少。但是解决的关键还是要看导数的符号，求解单调区间。第二问中，运用构造函数的思想，证明不等式，一直以来是个难点，那么这类问题的关键是找到合适的函数，运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决。
17.【2012高考北京理18】（本小题共13分）
已知函数 ， .
（1）若曲线 与曲线 在它们的交点 处具有公共切线，求 ， 的值；
（2）当 时，求函数 的单调区间，并求其在区间 上的最大值.
解：（）由 为公共切点可得：
，则 ， ，
，则 ， ，
①
又 ， ，
，即 ，代入①式可得： ．
（2） ， 设
则 ，令 ，解得： ， ；
， ，
原函数在 单调递增，在 单调递减，在 上单调递增
①若 ，即 时，最大值为 ；
②若 ，即 时，最大值为
③若 时，即 时，最大值为 ．
综上所述：
当 时，最大值为 ；当 时，最大值为 ．
18.【2012高考新课标理21】（本小题满分12分）
已知函数 满足满足 ；
（1）求 的解析式及单调区间；
（2）若 ，求 的最大值.
【答案】（1）
令 得：
得：
在 上单调递增
得： 的解析式为
且单调递增区间为 ，单调递减区间为
（2） 得
①当 时， 在 上单调递增
时， 与 矛盾
②当 时，
得：当 时，
令 ；则
当 时，
当 时， 的最大值为
19.【2012高考天津理20】本小题满分14分）
已知函数 的最小值为0，其中
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若对任意的 有 ≤ 成立，求实数 的最小值；
（Ⅲ）证明 （ ）.
【答案】
（1）函数 的定义域为
得： 时，
（2）设
则 在 上恒成立 （*）
①当 时， 与（*）矛盾
②当 时， 符合（*）
得：实数 的最小值为
（3）由（2）得： 对任意的 值恒成立
取 ：
当 时， 得：
当 时，
得： 。
【点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.
20.【2012高考江苏18】（16分）若函数 在 处取得极大值或极小值，则称 为函数 的极值点。
已知 是实数，1和 是函数 的两个极值点．
（1）求 和 的值；
（2）设函数 的导函数 ，求 的极值点；
（3）设 ，其中 ，求函数 的零点个数．
【答案】解：（1）由 ，得 。
∵1和 是函数 的两个极值点，
∴ ， ，解得 。
（2）∵ 由（1）得， ，
∴ ，解得 。
∵当 时， ；当 时， ，
∴ 是 的极值点。
∵当 或 时， ，∴ 不是 的极值点。
∴ 的极值点是－2。
（3）令 ，则 。
先讨论关于 的方程 根的情况：
当 时，由（2 ）可知， 的两个不同的根为I 和一2 ，注意到 是奇函数，∴ 的两个不同的根为一和2。
当 时，∵ ， ，
∴一2 , －1，1 ，2 都不是 的根。
由（1）知 。
① 当 时， ，于是 是单调增函数，从而 。
此时 在 无实根。
② 当 时． ，于是 是单调增函数。
又∵ ， ， 的图象不间断，
∴ 在（1 , 2 ）内有唯一实根。
同理， 在（一2 ，一I ）内有唯一实根。
③ 当 时， ，于是 是单调减两数。
又∵ ， ， 的图象不间断，
∴ 在（一1，1 ）内有唯一实根。
因此，当 时， 有两个不同的根 满足 ；当 时
有三个不同的根 ，满足 。
现考虑函数 的零点：
( i ）当 时， 有两个根 ，满足 。
而 有三个不同的根， 有两个不同的根，故 有5 个零点。
( 11 ）当 时， 有三个不同的根 ，满足 。
而 有三个不同的根，故 有9 个零点。
综上所述，当 时，函数 有5 个零点；当 时，函数 有9 个零点。
【考点】函数的概念和性质，导数的应用。
【解析】（1）求出 的导数，根据1和 是函数 的两个极值点代入列方程组求解即可。
（2）由（1）得， ，求出 ，令 ，求解讨论即可。
（3）比较复杂，先分 和 讨论关于 的方程 根的情况；再考虑函数 的零点。
21.【2012高考辽宁理21】本小题满分12分)
设 ，曲线 与
直线 在(0，0)点相切。
(Ⅰ)求 的值。
(Ⅱ)证明：当 时， 。
【命题意图】本题主要考查函数的切线及恒成立问题，考查运算求解能力，是难题.
【解析】（1）由 的图像过 点，代入得
由 在 处的切线斜率为 ，又 ，得 …3分
（2）（证法一）由均值不等式，当 时， ，故
记 ，则
，令 ，则当 时，
（lby lfx）
因此 在 内是减函数，又由 ，得 ，所以
因此 在 内是减函数，又由 ，得 ，
于是当 时， …12分
（证法二）
由（1）知 ，由均值不等式，当 时， ，故
令 ，则 ，故 ，即 ，由此得，当 时， ，记 ，则当 时，
因此 在 内是减函数，又由 ，得 ，即
【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用。本题容易忽略函数 的定义域，根据条件曲线 与直线 在(0，0)点相切，求出 的值，然后，利用函数的单调性或者均值不等式证明 即可。从近几年的高考命题趋势看，此类型题目几乎年年都有涉及，因此，在平时要加强训练。本题属于中档题。
22.【2012高考重庆理16】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）
设 其中 ，曲线 在点 处的切线垂直于 轴.
（Ⅰ） 求 的值；
（Ⅱ）求函数 的极值.
解：（1）因 ，故
由于曲线 在点 处的切线垂直于 轴，故该切线斜率为0，即 ，
从而 ，解得
（2）由（1）知 ，
令 ，解得 （因 不在定义域内，舍去），
当 时， ，故 在 上为减函数；
当 时， ，故 在 上为增函数；
故 在 处取得极小值 。
23.【2012高考浙江理22】(本小题满分14分)已知a＞0，b R，函数 ．
(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，
(ⅰ)函数 的最大值为|2a－b|﹢a；
(ⅱ) ＋|2a－b|﹢a≥0；
(Ⅱ) 若﹣1≤ ≤1对x [0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．
【命题立意】本题主要考查不等式、利用导数研究函数的单调性等性质、线性规划等知识点综合运用能力，同时考查抽象概括、推理论证能力。
【答案】本题主要考察不等式，导数，单调性，
(Ⅰ)(ⅰ) ．
当b≤0时， ＞0在0≤x≤1上恒成立，
此时 的最大值为： ＝|2a－b|﹢a；
当b＞0时， 在0≤x≤1上的正负性不能判断，
此时 的最大值为：
＝|2a－b|﹢a；
综上所述：函数 在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a；
(ⅱ) 要证 ＋|2a－b|﹢a≥0，即证 ＝﹣ ≤|2a－b|﹢a．
亦即证 在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a，
∵ ，
∴令 ．
当b≤0时， ＜0在0≤x≤1上恒成立，
此时 的最大值为： ＝|2a－b|﹢a；
当b＜0时， 在0≤x≤1上的正负性不能判断，
≤|2a－b|﹢a；
综上所述：函数 在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a．
即 ＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数 在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a，
且函数 在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大．
∵﹣1≤ ≤1对x [0，1]恒成立，
∴|2a－b|﹢a≤1．
取b为纵轴，a为横轴．
则可行域为： 和 ，目标函数为z＝a＋b．
作图如下：
由图易得：当目标函数为z＝a＋b过P(1，2)时，有 ．
∴所求a＋b的取值范围为： ．
24.【2012高考山东理22】(本小题满分13分)
已知函数 （ 为常数， 是自然对数的底数），曲线 在点 处的切线与 轴平行.
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的单调区间；
（Ⅲ）设 ,其中 为 的导函数.证明：对任意 .
解：
（Ⅰ） ，依题意， 为所求.
（Ⅱ）此时
记 ， ，所以 在 ， 单减，又 ，
所以，当 时， ， ， 单增；
当 时， ， ， 单减.
所以，增区间为（0，1）；
减区间为（1， .
（Ⅲ） ，先研究 ，再研究 .
① 记 ， ，令 ，得 ，
当 ， 时， ， 单增；
当 ， 时， ， 单减 .
所以， ，即 .
② 记 ， ，所以 在 , 单减，
所以， ，即
综①、②知， .
25.【2012高考真题湖南理22】（本小题满分13分）
已知函数 = ，其中a≠0.
（1） 若对一切x∈R， ≥1恒成立，求a的取值集合.
（2）在函数 的图像上取定两点 ， ，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使 成立？若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）若 ，则对一切 ， ，这与题设矛盾，又 ，
故 .
而 令
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，故当 时， 取最小值
于是对一切 恒成立，当且仅当
. ①
令 则
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减.
故当 时， 取最大值 .因此，当且仅当 即 时，①式成立.
综上所述， 的取值集合为 .
（Ⅱ）由题意知，
令 则
令 ，则 .
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增.
故当 ， 即
从而 ， 又
所以
因为函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在 使 单调递增，故这样的 是唯一的，且 .故当且仅当 时， .
综上所述，存在 使 成立.且 的取值范围为
.
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出 取最小值 对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为 ，从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.