江苏省海安县立发中学高二下期文科期末试卷（含答案）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 以角 的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴建立平面直角坐标系. 设角 的终边经过点（ ），则 ▲ .
2. 如图，在 ABCD中， a， b，则 ▲ （用a，b表示）.
3. 定义集合A、B之间的一种运算“*”： .
已知集合A={1，2，3}，B={1，2}，则集合A*B中最大的元素是 ▲ .
4. 设 ，则 的值是 ▲ .
5. 按如图所示的流程图操作，操作结果所得数之和为 ▲ .
6. 在对两个变量x，y进行线性回归分析时有下列工作环节：
①对所求出的回归方程做出解释；
②收集数据（xi，yi），i=1，2，…，n；
③求出线性回归方程；
④求相关系数；
⑤根据所收集的数据绘制散点图.
如果根据可靠性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则操作顺序为 ▲ （写序号）.
7. 已知向量a=（－3，2），b=（－1，0），向量 a+b与a－2b垂直，则实数 = ▲ .
8. 糖水中再加入一些糖后，糖水变得更甜. 将上述事实用含a，b，m（ ）的不等式表示为： ▲ .
9. 命题“ ”是假命题，则a的取值范围是 ▲ .
10. 已知函数 的最小正周期为 . 为了得到函数 的图象，只要将函数 的图象向左平移 个单位长度，则 ▲ .
11. 已知定义域为R的函数 若 ，则t的取值范围是 ▲ .
12. 给出下列四结论：
①命题“若 ，则x=2”的逆命题是“若 ，则 ”；
②命题“ ”的否定是“ ”；
③若命题“p或q”是假命题，则p和q都是假命题；
④“x>2”是“ ”的充分不必要条件.
其中正确结论的序号是 ▲ .
13. 已知定义在R上的偶函数f(x)满足： ，且当 时， ，则f(2009)=
▲ .
14. 用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值. 则函数 的最大值为 ▲ .
【填空题答案】
1. 2. a－b 3. 5
4. －3 5. 10100 6. ②⑤④③①
7. 8. 9.
10. 11. 12. ②③④
13. 8 14. 5
二、解答题：本大题共6题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （本题满分14分）
设a，b是不共线的向量，向量m=2a－3b，n=4a－2b，p=3a+b.
（1）用向量m，n表示向量p；
（2）设向量q=ka+2b ，且q // (m－n)，求k的值.
【解】（1）设p=xm+yn，即3a+b=x(2a－3b)+y(4a－2b)=(2x+4y)a+(－3x－2y)b.
因为a，b是不共线的向量，所以 ……………………4分
解得 故 . ……………………8分
（2）m－n=－2a－b. ………………… 10分
因为q // (m－n)，则可设q = (m－n) ，即ka+2b= (－2a－b).
因为a，b是不共线的向量，所以 解得k=4. ………………… 14分
16. （本题满分14分）
在计算“1+2+3+…+n ”时，某同学运用下面一种正确方法：
类比上述方法，请你计算“ ”.
【解】由 得： ……………………4分
，
，
，
… …
.
上述n个等式左、右两边分别相加，得
， ……………………8分
即 ，
化简得 ………………… 14分
17. （本题满分14分）
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 .
（1）求A的大小；
（2）现给出三个条件：① ；②a=2；③ .请从中选择两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择，并依条件求出△ABC的面积.
【解】（1）由 得 ， ……………………4分
因为 ，所以 ，于是 ，故 ……………………8分
（2）方案一：选择①②.
由正弦定理得 ， ………………… 10分
而 ………………… 12分
于是 ………………… 14分
方案二：选择②③.
由余弦定理 得 ， ………………… 10分
解得 . ………………… 12分
故 ………………… 14分
【说明】若选择①③，则由 得 ，△ABC不存在.
18. （本题满分14分）
设函数 的定义域为A，函数 的定义域为B. 若
，求a的取值范围.
【解】不等式 .
所以A . ……………………3分
因为 ，所以 ，即a<1且a≠0.
于是 ，
所以 ，即 .…………………7分
因为 ，所以 ， ……………………9分
所以有 ，即 . ………………… 12分
又a<1且a≠0，故a的取值范围是 . ………………… 14分
19. （本题满分16分）
矩形纸片ABCD的边AB=6，AD=10，点E、F分别在边AB和BC上
（不含端点）. 现将纸片的右下角沿EF翻折，使得顶点B翻折后的新
位置B1恰好落在边AD上. 设 ，EF=l，l关于t的函数为 .
试求：
（1）f(t)的解析式；
（2）函数f(t)的定义域.
【解】（1）设
由于 ，
所以 ……………………2分
因为 ，且AE+EB=6， ……………………5分
所以 ，即
……………………8分
（2）据题意知 为锐角，所以 ，从而 .… 11分
因为F点在BC上，所以 ，即 ，亦即 ，
所以 ，即 ，解得 . ………………… 14分
于是有 ，即 .
故函数f(t)的定义域为 ………………… 16分
20. （本题满分18分）
已知函数 .
（1）写出函数y=f(x)的单调区间，并利用定义证明y=f(x)在其中一个区间上的单调性；
（2）设 ，且f(m)= f(n)，求证：16mn>1；
（3）是否存在实数a，b(0<a<b)，使得函数y=f(x)在[a，b]上的值域也是[a，b]？请说明理由.
【解】（1）函数y=f(x)的单调减区间是 ，单调增区间是 .…………2分
现证明函数y=f(x)的单调增区间是 :
设 ，则 .
因为 ，所以 ，于是 ，
即 ，亦即函数y=f(x)在 上是单调增函数. ……………………5分
【证】（2）由f(m)= f(n)得 ，
于是 或 ，解得m=n或
因为 ，所以 ， ……………………8分
从而 ，变形得 （当且仅当m=n时取“=”号）.
由 得16mn>1. ………………… 11分
【解】（3）假设存在满足条件的a，b.
①当 时，f(x)在[a，b]上是减函数，且f(x)= ，
要使f(x)的值域是[a，b]，必须 即 ………………… 13分
可得 或 ，均不成立；
②当 时，f(x)在 上是减函数，在 上是增函数，
要使f(x)的值域是[a，b]，必须 ，不成立； ………………… 15分
③当 时，f(x)在[a，b]上是增函数，且f(x)= ，
要使f(x)的值域是[a，b]，必须 即 解得 .
………………… 17分
故存在 满足题设要求. ………………… 18分