2011年侨光中学高二数学下册期末考试卷（理科）
考试内容：选修2-1；选修2-3；选讲4-4
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考生号填写在答题卡上。
2．考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．选择题答案写在答题卡上；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4．保持答题卡卡面清洁，不破损。考试结束后，只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题，共70分）
一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。（把答案填在答题卡上）
1．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知 ， ，如果 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．命题“对任意的 ”的否定是（ ）
A．不存在 B．存在
C．对任意的 D．存在
4. 已知抛物线 ，则它的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若双曲线 的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A． B． C． D．
7．甲、乙两位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格概率为 ，乙及格概率为 ，
则两人中至少有一人及格的概率为（ ）
A． B． C． D．
8.从8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
9．椭圆 的一个焦点是 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
10．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 ， 两点，如果 ，那么 （ ）
A． B． C． D．
12．已知具有线性相关的两个变量 之间的一组数据如下：
0 1 2 3 4
2.2 4.3 4.5 4.8 6.7
且回归方程是 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
13．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为 ，且两条曲线在第一象限的交点为P， 是以 为底边的等腰三角形．若 ，椭圆与双曲线的离心率分别为 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
14．将数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字 恰好出现在第 个位置上，则称之为一个巧合，则巧合个数 的数学期望是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共80分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上。
15．在 的展开式中,含 项的系数是 .（用数字作答）
16．命题“若 ，则 ”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，
真命题的个数为 .
17．动点 到点 的距离比到直线 的距离小2，则点 的轨迹方程是 ．
18．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若 表示取到次品的件数，则 = .
19．已知两点 、 ，若直线上存在点 使得 ，称该直线为“ 型直线”.给出下列直线：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，其中为“ 型直线”的是 __．（填上所有可能的序号）
三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
20.（本小题满分12分）已知椭圆 （ ）的上顶点坐标为 ， 离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 为椭圆上一点， 为椭圆左顶点， 为椭圆右焦点，求 的取值范围.
21.（本小题满分12分）某市公租房的房源位于A,B,C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的。求该市的任4位申请人中：
（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；
（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数 的分布列与期望。
22.（本小题满分12分）如图，多面体EFABCD中，底面ABCD是正方形，AF⊥平面ABCD，DE∥AF，AB=DE=2，AF=1．
（Ⅰ）证明： BE⊥AC；
（Ⅱ）点N在棱BE上，当BN的长度为多少时，直线CN与平面ADE成30°角？
23.（本小题满分14分）平面内与两定点 、 连线的斜率之积等于非零常数 的点的轨迹，加上 、 两点所成的曲线 可以是圆、椭圆或双曲线.
（Ⅰ）求曲线 的方程，并讨论 的形状与 值得关系；
（Ⅱ）当 时，对应的曲线为 ；当 时，对应的曲线为 ，设 、 是 的两个焦点.试问：在 上，是否存在点 ，使得 的面积 .若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
24.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，以O为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐
标方程为 ，曲线 的参数方程为 ，（ 为参数，
）。
（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；
（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数 的取值范围。
2011年侨光中学高二年期末考（参考答案）
一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。（把答案填在答题卡上）
1-7:ABDDCBD 8-14:ADBBCDC
二、填空题 ：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上。
15． 16．2 17． 18． 19． ① ④ ⑤
三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
其它解法，评分标准由评卷老师自定
20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得椭圆的方程为 .
（Ⅱ）设 ，则 ，
21.（本小题满分12分）解：（1）所有可能的申请方式有 种，-----------------2分
恰有2人申请 片房源的申请方式有 种，-----------------3分
从而恰有2人申请 片房源的概率为 .-----------------5分
（Ⅱ） 的所有可能值为1，2，3.-----------------6分
又 ， ，
。-----------------9分
综上知， 的分布列为：
1 2 3
P
-----------------10分
从而有 -----------------12分
22.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）法一：连结BD，∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC． --------------------------------------1分
∵AF⊥平面ABCD，DE∥AF，
∴DE⊥平面ABCD， ---------------------------2分
∴DE⊥AC， ------------------------------3分
∵BD 、DE在平面BDE内，且相交于D，
∴AC⊥平面BDE， -----------------------------4分
∴BE⊥AC． ------------------------------------5分
法二：∵AF⊥平面ABCD，DE∥AF，∴DE⊥平面ABCD，
又∵ABCD是正方形，∴DA、DE、DC两两互相垂直，
可建立如图的空间直角坐标系，------------------------2分
∴A ，C ，B ，E ，
∴ ， ， ---------------------------------------------------3分
∵ ，∴ ，即BE⊥AC．------------5分
（Ⅱ）∵AF⊥平面ABCD，DE∥AF，∴DE⊥平面ABCD，又∵ABCD是正方形，∴DA、DE、DC两两互相垂直，可建立如图的空间直角坐标系， ----------------------------6分
∴B ，C ， E ，D ，
∴ ， ， ， --------------------------------7分
∵点N在棱BE上，∴可设 ，
∴ = ， --------------------------------8分
由于CD⊥平面ADE，∴ 为平面ADE的法向量． -------------------------------9分
当直线CN与平面ADE成30°角时， 60°，
∴ ，
，解得 ，∵ ，∴ ，--11分
∴BN= ． -----------------------------12分
23.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设动点为 ，其坐标为 ，
当 时，由条件可得 ，即 .-------1分
又 、 的坐标满足 ，
故依题意，曲线 的方程为 .-------2分
当 时，曲线 的方程为 ， 是焦点在 轴上的椭圆；
当 时，曲线 的方程为 ， 是圆点在原点的圆；
当 时，曲线 的方程为 ， 是焦点在 轴上的椭圆；
当 时，曲线 的方程为 ， 是焦点在 轴上的双曲线.---6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 时，曲线 的方程为 ；-------7分
当 时，曲线 的方程为 ， 两个焦点分别为 ， .-------8分
设存在点 ，则有 -------9分
由（1）得 ,由（2）得 满足（1），∴ 存在点 .--10分
由 ， ，可得 --11分
令 ， ， ，
则由 ，可得 ，--12分
从而 .
于是由 ，可得 ，即 --13分
故存在点 ，且 .-------14分
24.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）曲线 的极坐标方程为 ,
∴曲线 的直角坐标方程为 ． ------------4分
（Ⅱ）曲线 的直角坐标方程为 ,为半圆弧， 5分
如下图所示，曲线 为一族平行于直线 的直线，
当直线 过点 时，利用 得 ，
舍去 ，则 ，---------8分
当直线 过点 、 两点时， ,-----9分
∴由图可知，当 时，
曲线 与曲线 有两个公共点． ---------10分