九江市高二期末试卷（理）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、复数z= 在复平面上对应的点位于 （ A ）
(A)第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
2.有4部车床需加工3个不同的零件,不同的安排方法有多少种( B )
A. B. C.13 D. 14
3．用数学归纳法证明1+a+a 在验证n=1成立时,左边计算所得结果为 （ C ）
A. 1 B. 1+a C. 1+a+a D. 1+a+a
4. 设 为曲线 上的点，且曲线 在点 处切线倾斜角的取值范围为 ，则点 横坐标的取值范围为 （D ）
A． B． D．
5．如图，在一个长为 ，宽为 的矩形 内，曲线 与 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 内随机投一点（该点落在矩形 内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（ ）
A． B. C. D.
6.正六边形的中心和定点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有（ B ）个
A．35 B.32 C. 210 D.207
7. 若关于 的方程 在 上有根，则实数 的取值范围是 （C ）
A． B． D．
8.对任意的实数 ，有 ，则 的值是（ B ）
A．3 B．6 C．9 D．21
9.已知二次函数. 的导数为 ，且 .若对于任意实数-都有 ，则 的最小值为C
A.3 B. C. 2 D. [
10、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)=0,当x>0时，有 成立，则不等式 的解集是C
A． B．
C． D．
－1 0 1
P
a
11．若随机变量 的分布列如下表所示，设 = 2 + 3，
则 的期望值=
12.若 ，则方程 表示不同的直线有___13_______条．
13．根据平面几何的勾股定理，试类比出三棱锥P—ABC(PA、PB、PC两两垂直)中相应的结论是： S2△ABC= S2△PBC+ S2△APC + S2△ABP 。
14．对于三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y＝f（x）的导数y＝f′（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点x0，f(x0)为函数y＝f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心．”请你根据这一发现，请回答问题：
若函数g（x）＝13x3－12x2＋3x－512＋m＋ (m,n∈R)，则g（12011）＋g（22011）＋g（32011）＋g（42011）＋…＋g（20102011）＝ 2010 ．
15. 下列2题中任选一题做
（1）在直角坐标系中圆C的参数方程为 （ 为参数），若以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆 的极坐标方程为___ __．
（2）不等式 对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是
(-∞,-1]∪[6,+∞)
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 已知 的展开式中各项系数之和等于 的展开式的常数项，并且 的展开式中系数最大的项等于54，求 的值．
解： 展开式的常数项为： 3分
展开式的系数之和 ，n = 4 6分
∴ 展开式的系数最大的项为 ， 10分
∴ 12分
17.如图，节日花坛中有5个区域，现有n种不同颜色的花
装饰这5个区域中（不必每种颜色的花都用），
要求相同颜色的花不能相邻，求：
(1)n=3时，一共有多少种装饰方案？
(2)n=4时，花坛只用3种颜色的花装饰的概率
18.已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求 的极小值；
（Ⅱ）若直线 对任意的 都不是曲线 的切线，求 的取值范围.
解：（Ⅰ）因为当 时， ，令 ，得 或 .
当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 的极小值为 .
（Ⅱ）因为 ，
所以，要使直线 对任意的 总不是曲线 的切线，当且仅当 ，即 .
19．由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某高中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：
（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；
（Ⅱ）若视力测试结果不低丁5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；
（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记 表示抽到“好视力”学生的人数，求 的分布列及数学期望．
解：（Ⅰ）众数：4.6和4.7；中位数：4.75
（Ⅱ）设 表示所取3人中有 个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为事件 ，则
（Ⅲ） 的可能取值为0、1、2、3
；
；
分布列为
.
另解： , =
20．已知数列 的通项公式为
（1）试求 的值；
（2）猜想 的值，并用数学归纳法证明你的猜
解：（1）
（2）猜想
21．已知函数 ，
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）若不等式 在区间（0,+ 上恒成立，求 的取值范围；
（3）求证：
解：（1）∵ （
∴ 令 ，得
故函数 的单调递增区间为 ………………………………………………3分
（2）由
则问题转化为 大于等于 的最大值 …………………………………………5分
又 …………………………………………………………………………6分
令
当 在区间（0,+ ）内变化时， 、 变化情况如下表：
（0, ）
（ ，+ ）
+ 0 —
↗
↘
由表知当 时，函数 有最大值，且最大值为 ……………………………..8分
因此 ………………………………………………………………………………….9分
（3）由（2）知 ，
∴ （ ……………………………………………………………….10分
∴ （ ……………………………………12分
又∵
＝
∴ ……………………………………………………………14分