2014隆昌县高二数学下学期期末试卷（有答案）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．命题“ ， ”的否定是 ▲ ．
2．设复数 满足 （ 为虚数单位），则 的实部为 ▲ ．
3．某校高一年级有400人，高二年级有600人，高三年级有500人，现要采取分层抽样的方法从全校学生中选出100名学生进行问卷调查，那么抽出的样本中高二年级的学生人数为 ▲ ．
4．“ ”是“ ”的 ▲ 条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）.
5．一个盒子中放有大小相同的3个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为 ▲ ．
6．根据如图所示的伪代码，可知输出的S的值为 ▲ ．
7．在平面直角坐标系 中，已知中心在坐标原点的双曲线 经过点 ，且它的右焦点 与抛物线 的焦点相同，则该双曲线的标准方程
为 ▲ ．
8．已知点 在不等式组 所表示的平面区域内，则 的最大值为 ▲ ．
9．已知 ， ， ，….，类比这些等式，若 （ 均为正实数），则 = ▲ ．
10．（理科学生做）已知 展开式中所有项的二项式系数和为32，则其展开式中的常数项为
（文科学生做）已知平面向量 满足 ， ， ，则向量 夹角的余弦值为 ▲ ．
11．（理科学生做）现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有 ▲ 种不同的选派方案.（用数字作答）
（文科学生做）设函数 是奇函数，则实数 的值为 ▲ ．
12．设正实数 满足 ，则当 取得最大值时， 的值为 ▲ ．
13．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是 ▲ ．
14．设点 为函数 与 图象的公共点，以 为切点可作直线 与两曲线都相切，则实数 的最大值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
（理科学生做）设某地区 型血的人数占总人口数的比为 ，现从中随机抽取3人.
（1）求3人中恰有2人为 型血的概率；
（2）记 型血的人数为 ，求 的概率分布与数学期望.
（文科学生做）设函数 ，记不等式 的解集为 .
（1）当 时，求集合 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
16．（本小题满分14分）
（理科学生做）设数列 满足 ， .
（1）求 ；
（2）先猜想出 的一个通项公式，再用数学归纳法证明你的猜想.
（文科学生做）在 中， ， ，设 .
（1）当 时，求 的值；
（2）若 ，求 的值.
17．（本小题满分14分）
（理科学生做）如图，在直三棱柱 中， ， 分别是 的中点，且 .
（1）求直线 与 所成角的大小；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
（文科学生做）设函数 .
（1）用反证法证明：函数 不可能为偶函数；
（2）求证：函数 在 上单调递减的充要条件是 .
18．（本小题满分16分）
如图所示，某人想制造一个支架，它由四根金属杆 构成，其底端三点 均匀地固定在半径为 的圆 上（圆 在地面上）， 三点相异且共线， 与地面垂直. 现要求点 到地面的距离 恰为 ，记用料总长为 ，设 ．
（1）试将 表示为 的函数，并注明定义域；
（2）当 的正弦值是多少时，用料最省？
19．（本小题满分16分）
如图所示，在平面直角坐标系 中，设椭圆 ，其中 ，过椭圆 内一点 的两条直线分别与椭圆交于点 和 ，且满足 ， ，其中 为正常数. 当点 恰为椭圆的右顶点时，对应的 .
（1）求椭圆 的离心率；
（2）求 与 的值；
（3）当 变化时， 是否为定值？若是，请求出此定值；
若不是，请说明理由.
20．（本小题满分16分）
设函数 .
（1）当 时，求函数 的极大值；
（2）若函数 的图象与函数 的图象有三个不同的交点，求 的取值范围；
（3）设 ，当 时，求 函数 的单调减区间．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.
15．（本小题满分14分）
（理）解：（1）由题意，随机抽取一人，是 型血的概率为 ， …………2分
3人中有2人为 型血的概率为 . …………6分
（2） 的可能取值为0，1，2，3， …………8分
， ， ，
， …………12分
. …………14分
（文）（1）当 时， ，解不等式 ，得 ， ……5分
. …………6 分
（2） ， ，
又 ， ， . …………9分
又 ， ，解得 ， 实数 的取值范围是 . ……14分
16．（本小题满分14分）
（理）解：（1）由条件 ，依次得 ，
， ， …………6分
（2）由（1），猜想 . …………7分
下用数学归纳法证明之：
①当 时， ，猜想成立； …………8分
②假设当 时，猜想成立，即有 ， …………9分
则当 时，有 ，
即当 时猜想 也成立， …………13分
综合①②知，数列 通项公式为 . …………14分
（文）解：（1）当 时， ，
所以 ， …………3分
. …………7分
（2）因为
， …………12分
， 解得 . …………14分
（说明：利用其它方法解决的，类似给分）
17．（本小题满分14分）
（理）解：分别以 、 、 所在直线为 轴建立空间直角坐标系.
则由题意可得： , , , , , ,
又 分别是 的中点， , . …………3分
（1）因为 ， ，
所以 ， …………7分
直线 与 所成角的大小为 . …………8分
（2）设平面 的一个法向量为 ,由 ,得 ,
可取 ， …………10分
又 ，所以 ， …………13分
直线 与平面 所成角的正弦值为 . …………14分
（文）解：(1)假设函数 是偶函数， …………2分
则 ，即 ，解得 ， …………4分
这与 矛盾，所以函数 不可能是偶函数. …………6分
(2)因为 ，所以 . …………8分
① 充分性：当 时， ，
所以函数 在 单调递减； …………10分
②必要性：当函数 在 单调递减时，
有 ，即 ，又 ，所以 . …………13分
综合①②知，原命题成立. …………14分
（说明：用函数单调性的定义证明的，类似给分；用反比例函数图象说理的，适当扣分）
18．（本小题满分16分）
解：（1）因 与地面垂直，且 ，则 是
全等的直角三角形，又圆 的半径为3，
所以 ， ， …………3分
又 ，所以 ， …………6分
若点 重合，则 ，即 ，所以 ，
从而 ， . …………7分
（2）由（1）知 ，
所以 ，当 时， ， …………11分
令 ， ，当 时， ；当 时， ；
所以函数L在 上单调递减，在 上单调递增， …………15分
所以当 ，即 时，L有最小值，此时用料最省. …………16分
19．（本小题满分16分）
解：（1）因为 ，所以 ，得 ，即 ，
所以离心率 . ………4分
（2）因为 ， ，所以由 ，得 ， ………7分
将它代入到椭圆方程中，得 ，解得 ，
所以 . ………10分
（3）法一：设 ，
由 ，得 ， ………12分
又椭圆的方程为 ，所以由 ，
得 ①， 且 ②，
由②得， ，
即 ，
结合①，得 ， ………14分
同理，有 ，所以 ，
从而 ，即 为定值. ………16分
20．（本小题满分16分）
解：（1）当 时，由 =0，得 或 ， ………2分
列表如下：
－1
3
＋ 0 － 0 ＋
递增 极大 递减 极小 递增
所以当 时，函数 取得极大值为5. ………4分
（2）由 ，得 ，即 ， ………6分
令 ，则 ，
列表，得
1
－ 0 ＋ 0 －
递减 极小值
递增 极大值2 递减
………8分
由题意知，方程 有三个不同的根，故 的取值范围是 . ………10分