哈尔滨市第六中学2009—2010学年度下学期期末考试
高一数学试题
考试时间:120分钟 满分:150分
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。请把答案一律用2B铅笔涂在答题卡上。)
1.已知 中, ,那么 为( )
A. B. C. 或 D. 或
2.直线 在 轴上的截距是( )
A.2 B.3 C.-2 D.-3
3.已知平面向量 ,且 ∥ ,则 =( )
A. B. C. D.
4.点 关于直线 的对称点的坐标是 ( )
A. B. C. D.
5.若椭圆 和双曲线 有相同的焦点 是椭圆与双曲线的一个交点,则 等于: ( )
A. B. C. D.
6.已知 是等比数列 则 等于 ( )
A.- B. C. D.-
7. 直线 与 互相垂直,则 ( )
A. B.1 C. D.
8.设 、 ,且 ,则有( )
A. B. C. D.
9. 直线 被椭圆 所截得的弦的中点坐标是 ( )
A.( , ) B.( , ) C.( , ) D. ( , )
10.实轴长是 的双曲线,其焦点为 ,过 作直线交双曲线同一支于 两点,若 ,则△ABF2的周长是: ( )
A. B. C. D.
11.若直线 与圆 相交于 两点,且 (其中O为原点),则 的值为
A. B. C. D.
12.设点 是椭圆 上一动点, 是椭圆的两个焦点, 的内切圆半径为 ,则当点点 在 轴上方时,点 的纵坐标为( )
A.2 B.4 C. D.
二、填空题(本大题共4题,每题5分,共20分。请把答案填在答题卡上指定位置处。)
13.若双曲线实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线离心率为 。
14. 设 的等比中项,则 的最大值为
15.已知实数x、y满足 ,则 的取值范围是__________;
16.已知定点 ,动点 在直线 上,动点 在直线 上,且 ,则 面积的最小值为
三、解答题(本大题共6个小题,共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)
17. 在 中, , .(10分)
(Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)设 ,求 的面积.
18.已知直线 在 轴上截距相等,且到点 的距离等于 ,求直线 的方程.(10分)
19. 圆过点 ,圆心在 上,并与直线 相切,求该圆的方程。
(12分)
20.已知等差数列 的公差大于 ,且 是方程 的两根,数列 的前 项的和为 ,且 .(12分)
(1) 求数列 , 的通项公式;
(2) 记 ,求数列 的前 项和
21. 解关于 的不等式 (其中 )(12分)
22. 设椭圆 过 两点, 为坐标原点。(14分)
(I)求椭圆 的方程;
(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点 .且 ?若存在,写出该圆的方程,并求 的取值范围,若不存在说明理由。
2012届高一期末考试数学答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C D B A B C B D C A B
二、填空题
13. 14. 2 15. 16. 8
三、解答题
17. 解:(Ⅰ)由 ,得 ,由 ,得 .
所以 . ……………5分
(Ⅱ)由正弦定理得 . ……………7分
所以 的面积 . ……………10分
18. ………………5分
………………10分
19.因为圆心在直线 上,所以设圆的方程为:
又因为过点 且与直线 相切
所以 或 ………………10分
所以圆的方程为: 或 。………………12分
20.解:(Ⅰ)∵ 是方程 的两根,且数列 的公差d>0,
∴a3=5,a5=9,公差
∴ ………………3分
又当n=1时,有b1=S1=1-
当
∴数列{bn}是等比数列,
∴ …………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 所以 …………12分
21.① 时,解为: 或 ; …………3分
② 时,解为: ; …………5分
③ 时,解为: ; …………8分
④ 时,解为: ; …………10分
⑤ 时,解为: 。 …………12分
22. 解:(1)因为椭圆E: (a,b>0)过M(2, ) ,N( ,1)两点,
所以 解得 椭圆E的方程为 …………4分
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 ,设该圆的切线方程为 解方程组 得 ,即 ,
则△= ,即
, 要使 ,需使 ,即 ,所以 ,所以 又 ,所以 ,所以 ,即 或 ,因为直线 为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 , , ,所求的圆为 , …………8分
此时圆的切线 都满足 或 ,而当切线的斜率不存在时切线为 与椭圆 的两个交点为 或 满足 ,综上, 存在圆心在原点的圆 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 . …………10分
因为 ,
所以 ,
,
①当 时
因为 所以 ,
所以 ,
所以 当且仅当 时取”=”.
② 当 时, .
③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为 或 ,所以此时 ,
综上, |AB |的取值范围为 即: …………14分