成都石室中学高2012级2009—2010学年度下期期末考试
数学试卷
一. 选择题（每题5分，共60分，注意：每题仅一个答案是正确的）
1． 的值等于（ ）
A． B． C． D．
2.已知向量 ， 满足 ，则 （ ）
A. 0 B. C. 4 D. 8
3. “ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 已知三个点 ，其中 为常数。若 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B 或 C D 或
5. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若 ，sinC=2 sinB，则A=( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
6已知函数 的部分图象如题（6）图所示，则( )
A. =1 = B. =1 = C. =2 = D. =2 =
7. ，则向量 方向上的投影为（ ）
A． B． C． 2 D．10
8. 已知函数 ，若 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量 ,其中 若 且 ，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（ ）
10. 中，点 在 上， 平分 ．若 ，则 ( )
A. B. C. D.
11.已知 ，点 满足 .若存在实数 使得 成立，则 =( )
A． 2 B. 3 C. 4 D. 5
12. 对于使 成立的所有常数M中，我们把M的最小值 叫做 的上确界.若 ，则 的上确界为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题4分，共16分）
13.已知向量 ,若 ，则 .
14.在 ABC中, , , ABC面积为 ,那么 的长度为
15. 在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c， ，则 =_ _ 。
16. 若 ，则下列不等式：① ；② ；③ ；④ 中，成立的不等式有 。（填序号）
成都石室中学高2012级2009—2010学年度下期期末
数学考试答题卷
二．填空题（每小题4分，共16分）
13. 14.
15. 16.
三．解答题（本大题共6小题共74分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17.（本小题12分） .
（1）当 时，求函数 的单调递增区间；.
（2）当 时，若 ，函数 的值域是 ，求实数 的值。
18.（本小题12分） 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足( )• =0，求t的值。
19.（本小题12分）
已知A，B，C是△ABC的三个内角，且向量 ＝cos ＋ sin 的模长为
| |＝ ，其中 ， 分别是平面直角坐标系x轴、y轴上的单位向量．
（1）求证： 是定值；
（2）求 的最小值．
20. （本小题12分）
(1)如果 都是正数，且 ，求证
（2）设 为 的三条边，求证
21.（本小题12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量 ，点
(1)若 ，且 ，求向量 ；
(2) 若向量 与向量 共线，当 时， 的最大值为4，求 的值。
22.（本小题14分）
已知函数 的图象按向量 平移后得到的图象关于原点对称，且 。
（1）求 的值；
（2）设 ， 。求证：
（3）定义函数 。当 为正整数时，
求证：
成都石室中学高2012级2009—2010学年度下期期末数学考试
答题卷
一、ABDDADCCABBC二、13、-1，14、 ，15、4，16、⑵⑶⑷
三．解答题（本大题共6小题共74分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17.已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调递增区间；.
（Ⅱ）当 时，若 ，函数 的值域是 ，求实数 的值
解：
（Ⅰ）当 时，
当 时， 是增函数，
所以函数 的单调递增区间为 .
（Ⅱ）由 得 ，
因为 ，所以当 时， 取最小值3，即
当 时， 取最大值4，即
将 代入（1）式得 .
18. 在平面直角坐标系 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
(3)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(4)设实数t满足( )• =0，求t的值。
解：（1）由题意， 。所以 ，即
，即
（2）由题设知： =(－2,－1)， 。
由( )• =0，得： ，
从而 所以 。
或者： ，
19.已知A，B，C是△ABC的三个内角，且向量 ＝cos ＋ sin 的模长为| |＝ ，其中 ， 分别是平面直角坐标系x轴、y轴上的单位向量．
（1）求证： 是定值；
（2）求 的最小值．
证明：由题意 ，
则
=
=
而| |＝ ，则 =
即 ，
，
，
，即 ．
（2）由 >0，且A，B，C是△ABC的三个内角，知 ，
则
=
，
当且仅当 时，tan(A＋B)的最小值为 ．
20. (1)如果 都是正数，且 ，求证
（2）设 为 的三条边，求证
证明：（1）
（2）要证原不等式成立，只需证
即 ，
即 ，
也即 成立。
因为 为 的三条边，所以 ， ，
即从而 成立，所以原不等式也成立
21. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量 ，又有点
(1)若 ，且 ，求向量 ；
(2)若向量 与向量 共线。当 ，且函数 取最大值为4，求 的值。
解:
又 ,得
或
与 向量共线,
, 当 时， 取最大值为
由 ，得 ，此时
22.已知函数 的图象按向量 平移后得到的图象关于原点对称，且 。
（1）求 的值；
（2）设 ， 。求证：
（3）定义函数 。当 为正整数时，
求证：
解：（1）函数 的图象按向量 平移后得到的图象所对应的函数式为
因为图象关于原点对称，
，又 ， 由条件知
（2）
当且仅当 时等号成立。但
， ， 。
由于
当 时， ；当 时 。
，即
（3）由（1）知：
令
由不等式 ，得
将这些同向不等式相乘得
故 ，即