6、（2013•资阳）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．
（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；
（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以 cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；
①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．
②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．
考点： 四边形综合题
分析： （1）证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；
（2）①首先证明△AFE∽△CDE，利用比例式求出时间t= a，进而得到CM= a= CD，所以该命题为真命题；
②若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形，需要分类讨论．
解答： （1）证明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，
∴∠ADF=∠DCN．
在△ADF与△DNC中，
，
∴△ADF≌△DNC（ASA），
∴DF=MN．
（2）解：①该命题是真命题．
理由如下：当点F是边AB中点时，则AF= AB= CD．
∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，
∴ ，
∴AE= EC，则AE= AC= a，
∴t= = a．
则CM=1•t= a= CD，
∴点M为边CD的三等分点．
②能．理由如下：
易证AFE∽△CDE，∴ ，即 ，得AF= ．
易证△MND∽△DFA，∴ ，即 ，得ND=t．
∴ND=CM=t，AN=DM=a﹣t．
若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：
（I）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM，
∴AF=DM，即 =t，得t=0，不合题意．
∴此种情形不存在；
（II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，
∴t= a，此时点F与点B重合；
（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：
易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a﹣t；
又由△NDM∽△DCF，∴ ，即 ，∴FC= ．
∴ =a﹣t，
∴t=a，此时点F与点C重合．
综上所述，当t=a或t= a时，△MNF能够成为等腰三角形．
点评： 本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解．
7、（2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．
（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；
（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；
（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．
考点： 四边形综合题．
分析： （1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；
（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在 上任意一点构成的四边形ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形，
（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数．
解答： 解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ADB，
∴△ADB是等腰三角形．
在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，
∴∠BDC=∠C=75°，
∴△BCD为等腰三角形，
∴BD是梯形ABCD的和谐线；
（2）由题意作图为：图2，图3
（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，
∴△ACD是等腰三角形．
∵AB=AD=BC，
如图4，当AD=AC时，
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°．
∵∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠BCD=60°+75°=135°．
如图5，当AD=CD时，
∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°
如图6，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD．CE⊥AD，
∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四边形ABFE是矩形．
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF=BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，
∴∠BCD=15°×3=45°．
点评： 本题是一道四边形的综合试题，考查了和谐四边形的性质的运用，和谐四边形的判定，等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，30°的直角三角形的性质的运用．解答如图6这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键．
8、(2013年武汉)已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证 ；
（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得 成立？并证明你的结论；
（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出 的值．
解析：
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴ ．
（2）当∠B+∠EGC＝180°时， 成立，证明如下：
在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．
∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，
∵∠B+∠EGC＝180°，
∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED．
∴△ADE∽△DCM，
∴ ，即 ．
（3） ．
9、（2013杭州压轴题）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1．
（1）求证：∠APE=∠CFP；
（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x， ．
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；
②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．
考点：四边形综合题．
分析：（1）利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论；
（2）本问关键是求出y与x之间的函数解析式．
①首先分别用x表示出S1与S2，然后计算出y与x的函数解析式．这是一个二次函数，求出其最大值；
②注意中心对称、轴对称的几何性质．
解答：（1）证明：∵∠EPF=45°，
∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135°；
而在△PFC中，由于PF为正方形ABCD的对角线，则∠PCF=45°，
则∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135°，
∴∠APE=∠CFP．
（2）解：①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°，
∴△APE∽△CPF，则 ．
而在正方形ABCD中，AC为对角线，则AC= AB= ，
又∵P为对称中心，则AP=CP= ，
∴AE= = =．
如图，过点P作PH⊥AB于点H，PG⊥BC于点G，
P为AC中点，则PH∥BC，且PH=BC=2，同理PG=2．
S△APE= =×2×=，
∵阴影部分关于直线AC轴对称，
∴△APE与△APN也关于直线AC对称，
则S四边形AEPN=2S△APE= ；
而S2=2S△PFC=2× =2x，
∴S1=S正方形ABCD﹣S四边形AEPN﹣S2=16﹣ ﹣2x，
∴y= = = +﹣1．
∵E在AB上运动，F在BC上运动，且∠EPF=45°，
∴2≤x≤4．
令=a，则y=﹣8a2+8a﹣1，当a= =，即x=2时，y取得最大值．
而x=2在x的取值范围内，代入x=2，则y最大=4﹣2﹣1=1．
∴y关于x的函数解析式为：y= +﹣1（2≤x≤4），y的最大值为1．
②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称，
而此两块图形也关于直线AC成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线BD对称，
则EB=BF，即AE=FC，
∴=x，解得x= ，
代入x= ，得y= ﹣2．
点评：本题是代数几何综合题，考查了正方形的性质、相似三角形、二次函数的解析式与最值、几何变换（轴对称与中心对称）、图形面积的计算等知识点，涉及的考点较多，有一定的难度．本题重点与难点在于求出y与x的函数解析式，在计算几何图形面积时涉及大量的计算，需要细心计算避免出错．