高二数学同步测试—不等式的证明
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一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列，则 （ ）
A． B． C． D．
2．综合法证明不等式中所说的“由因导果”是指寻求使不等式成立的 （ ）
A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．必要或充分条件
3．在 ① ， ② ③ ，
其中正确的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．下列函数中最小值是2的是 （ ）
A． B．
C． D．
5．设 ，则x，y的大小是 （ ）
A. B． C． D．与m，n的取值有关
6．已知a、b、m是正实数，则不等式 （ ）
A．当a> b时成立 B．当a< b时成立
C．是否成立与m有关 D．一定成立
7．如果正数 满足 ，那么 （ ）
Ａ． ，且等号成立时 的取值唯一
Ｂ． ，且等号成立时 的取值唯一
Ｃ． ，且等号成立时 的取值不唯一
Ｄ． ，且等号成立时 的取值不唯一
8．在 中，a,b,c分别是 所对应的边， ，则 的取值范围是（ ）
A．（1,2） B． C． D．
9．定义 ，其中 是△ 内一点， 、 、 分别是△ 、△ 、△ 的面积，已知△ 中， ， ， ，则 的最小值是 （ ）
A．8 B．9 C．16 D．18
10．设 的最值情况是 （ ）
A．有最大值2，最小值 B．有最大值2，最小值0
C．有最大值10，最小值 D．最值不存在
一、 选择题答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．若a、b、c、d∈R，且有 ， ，则abcd的取值范围是 _______．
12．若 ，则函数 的最小值是 ________.
13．若 的大小关系是________________________．
14．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以 公里／小时的速度匀速直达灾区，已知某市到灾区公路线长400公里，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 公里，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________________小时．（车身长不计）
15．实数 _________，y=_________．
三、解答题（本大题共6题，共75分）
16．（12分）已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证： ．
17．（12分）已知A = , B = x + 1, 当x ≠ 1时，试比较A与B的大小, 并说明你的理由.
18．（12分）已知 ，且 求证：
19．（12分）⑴证明：当 时，不等式 成立。
⑵要使上述不等式 成立，能否将条件“ ”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由。
⑶请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明。
20．（13分）如图所示，校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器。已知喷水器的喷水区域是半径为5m的圆。问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？
21．（14分）已知二次函数 的图象与x轴有两个不同的公共点，若 ，且 时， ．
(1)试比较 与c的大小； (2)证明： ．
高二数学同步测试—不等式的证明参考答案
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D A B A C D A
二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11． 12． 13． 14．12 15. 1，2，1
三、解答题（本大题共6题，共75分）
16．（12分）
[证明]：左－右=2（ab+bc－ac） ∵a，b，c成等比数列，
又∵a，b，c都是正数，所以 ≤ ∴
∴
∴
17．（12分）
[解析] A – B = = ，
由 > 0得x < – 1或1 < x < 2
∴ 当x < – 1或1 < x < 2时, A > B； 当 – 1< x < 1或x > 2时, A < B；
当x = – 1或x = 2时, A = B．
18．（12分）
证法一：（比较法）
即 （当且仅当 时，取等号）
证法二：（分析法）
因为显然成立，所以原不等式成立
点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件
证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）
证法四：（反证法）假设 ，
则
由a+b=1，得 ，于是有
所以 ， 这与 矛盾 所以
证法五：（放缩法）∵
∴左边＝ ＝右边
点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式
证法六：（均值换元法）∵ ， 所以可设 ， ，
∴左边＝
＝右边
当且仅当t=0时，等号成立
点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元
证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）
设y=(a+2)2+(b+2)2，
由a+b=1，有 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即
故
19．（12分）
解：（1）证： ,∵ ＞1，∴ ＞0，
∴原不等式成立
（2）∵a-1与a5-1同号对任何a＞0且a¹1恒成立，∴上述不等式的条件可放宽为
且
（3）根据（1）（2）的证明，可推知：若 ＞0且 ，m＞n＞0，则有
证：左式-右式=
若a＞1，则由m＞n＞0Þam-n＞0,am+n＞0Þ不等式成立；
若0＜a＜1，则由m＞n＞0Þ0＜am-n＜1, 0＜am+n＜1Þ不等式成立.
20．（13分）
解：设花坛的长、宽分别为xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界。依题意得： ，（ ）
问题转化为在 ， 的条件下，求 的最大值。
法一： ，
由 和 及 得：
法二：∵ ， ，
=
∴当 ，即 ，
由 可解得： 。
答：花坛的长为 ，宽为 ，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，则符合要求。
21．（14分）
(1)解：由已知 的图象与x轴有两个不同的公共点，知 有两个不同的实数根 、 ，又由 ，且 ，知 的两个根就是 和c ， 2分
如果 ，由 ，知 ，即 ， 4分
而当0 < < c时， ，
这与 是 的根矛盾，所以 ． 7分
(2)证： ， .
又 ， ， 9分
， ，∴ac > 0，于是 ，故 . 11分
又 的图象的对称轴为 ，且 的两根为c和 ，且 ，
， ，故 ． 14分