【快乐假期】2011年八年级数学暑假培优提高作业2
二次函数
学生姓名 家长签字
一、学习指引
1.知识要点
（1）形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫二次函数．
（2） 二次函数的图像.
一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a（x- h）2+k的图象．
（3）图象的性质.
1.二次函数y= ax2+bx+c = a（x＋ ）2＋ 的图象是以x =－ 为对称轴，以（－ ， ）为顶点的抛物线．
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象，如图2，当a > 0时，其图象的开口向上，这时当x <－ 时y的值随x的增大而减小；当x >－ 时y的值随x的增大而增大；当x =－ 时，y有最小值 ．如图3，当a < 0时，其图象的开口向下，这时当x <－ 时y的值随x的增大而增大；当x >－ 时y的值随x的增大而减小；当x =－ 时，y有最大值 ．
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象的二次项系数a——定形,│a│的大小决定了开口的宽窄，│a│越大，开口越小；a ，b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y轴；c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点.
2.方法指引
（1）结合函数图象类比学习本讲内容 ．
（2）掌握一般式y=ax2+bx+c、顶点式y=a(x-h)2+k、交点式y=a(x-x1)(x-x2)之间的互化．用待定系数发求解析式．
（3）能数形结合进行一些简单的函数应用.
二、典型例题
例1. 在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中（右图），然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则能反映弹簧秤的读数y（N）与铁块被提起的高度x（cm）之间的函数关系的大致图像是（ ）
A . B. C . D.
例２．在下列函数关系式中，哪些是二次函数（是二次函数的在括号内打上“√”，不是的打“x”).
(l）y=-2x2 ( ) (2）y=x-x2 ( )
(3）y=2(x-1)2+3 ( ) (4）s=a(8-a) ( )
例３．描点法画二次函数y=x2与y=-x2的图象，并简述其性质.
例4．画出并说明二次函数y=x2 与y=x2 +1、y=x2-2的图象及其平移关系.
例5．猜想并说明二次函数y=x2 与y=（x +1）2、y=（x-1）2的图象及其平移关系.
例6．说明二次函数y=x2 与y=（x-1）2 +2的图象平移关系，及y=（x-1）2 +2的对称轴、顶点坐标、最值、增减性.
例7．（1）说明抛物线y=2x2-5x+4的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性.
（2）ｙ＝４ｘ２－８ｘ＋３呢？ y=ax2+bx+c呢？
例8．根据下列条件求关于x的二次函数的解析式：
（1） 当x=1时，y=0;x=0时,y= -2，x=2 时，y=3；
（2） 抛物线顶点坐标为（-1，-2）且通过点（1，10）；
（3） 当x=3时，y最小值=-1，且图象过（0，7）；
（4） 图象经过（0，1）（1，0）（3，0）.
例9．二次函数 的图象如图所示，则 ，
， ， 这四个式子中，值为
正数的有（ ）．
A．4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
例10．
已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表：
… 0 1 3 …
… 1 3 1 …
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线与 轴交于负半轴
C．当 ＝4时， ＞0 D．方程 的正根在3与4之间
例11．
如图是抛物线 的一部分，其对称轴
为直线 ＝1，若其与 轴一交点为B（3，0），则
由图象可知，不等式 ＞0的解集是
例12．
二次函数 的图象如图12所示，点 位于坐标原点，
点 ， ， ，…， 在y轴的正半轴上，点 ， ，
，…， 在二次函数 位于第一象限的图象上，
若△ ,△ ，△ ，…，△
都为等边三角形，则△ 的边长＝
例13． 如图，已知二次函数 的图象的顶点为 ．二次函数 的图象与 轴交于原点 及另一点 ，它的顶点 在函数 的图象的对称轴上．
（1）求点 与点 的坐标；
（2）当四边形 为菱形时，求函数 的关系式．
例14．
凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去.
（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式.
（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由.
二次函数同步练习
班级 姓名
【基础巩固】
1.抛物线 的对称轴是直线 （ ）
A． B． C． D．
2．二次函数 的图象如何平移就褥到 的图( )
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位．
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位．
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位．
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
3．二次函数 的图象如图所示，则一次函数 与反比例函数 在同一坐标系内的图象大致为 （ ）
4．已知二次函数 (a≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是 ( )
A. 当x>0时，函数值y随x的增大而增大
B. 当x>0时，函数值y随x的增大而减小
C. 存在一个负数x0，使得当x<x0时，函数值y随x的增大而减小；当x> x0时，函数值y随x的增大而增大
D. 存在一个正数x0，使得当x<x0时，函数值y随x的增大而减小；当x>x0时，函数值y随x的增大而增大
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以 下结论：①a＞0. ②该函数的图象关于直线 对称. ③当 时，函数y的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．（已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图3所示，
下列结论：①abc＞0 ②2a+b＜0 ③4a－2b+c＜0 ④a+c＞0，
其中正确结论的个数为（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
7．已知二次函数 （其中a＞0， b＞0，c＜0），
关于这个二次函数的图象有如下说法：
①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；
③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧.
以上说法正确的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．抛物线 与y轴的交点坐标是 ， 与x轴的交点坐标是 .
9．（2009南州）二次函数 的图象关于原点O
（0, 0）对称的图象的解析式是_________________.21世纪教育网
10．已知抛物线 （ ＞0）的对称轴为直线 ，且经过点 ，试比较 和 的大小： _ （填“>”，“<”或“=”）
11．函数y=(x－2)(3－x)取得最大值时，x=______．
12．已知关于x的函数同时满足下列三个条件：
①函数的图象不经过第二象限；
②当 时，对应的函数值 ；
③当 时，函数值y随x的增大而增大．
你认为符合要求的函数的解析式可以是： （写出一个即可）
13．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1,-4)，且过点B(3,0)．（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与 轴的另一个交点的坐标．
【能力拓展】
14．二次函数y =ax2＋bx＋c 的图象如图所示，且P=| a－b＋c |＋| 2a＋b |，Q=| a＋b＋c |＋| 2a－b |，则P、Q的大小为 .
15．直线 与 轴相交于点 ，连结 ，抛物线 从点 沿 方向平移，与直线 交于点 ，顶点 到 点时停止移动．
（1）求线段 所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点 的横坐标为 ,①用 的代数式表示点 的坐标；②当 为何值时，线段 最短；
（3）当线段 最短时，相应的抛物线上是否存在点 ，使△ 的面积与△ 的面积相等，若存在，请求出点 的坐标；若，不存在，请说明理由．
16．如图甲，在等腰直角三角形 中， ， 点在第一象限， 点坐标为 ． 与 关于 轴对称．
（1）求经过 三点的抛物线的解析式；
（2）若将 向上平移 个单位至 （如图乙），则经过 三点的抛物线的对称轴在 轴的 ．（填“左侧”或“右侧”）
（3）在（2）的条件下，设过 三点的抛物线的对称轴为直线 ．求当 为何值时， ？
17．
一开口向上的抛物线与x轴交于A（ ，0），B（m＋2，0）两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．
（1）若m为常数，求抛物线的解析式；
（2）若m为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？
（3）设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
18． 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.
二次函数 （典型例题）
例1． C
例２．√ √ √ √
例３． 见课件
例4．见课件
例５．类比猜想
例６． 略
例７． 略
例８．（１） ． （2）
（３） （４） ．
例９． B
例１０． D
例１１．x＜-1或x＞3
例１２． 2008
例１３
例１４．（1）
（2） 即：y
因为提价前包房费总收入为100×100=10000。
当x=50时，可获最大包房收入11250元，因为11250>10000。又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元.
二次函数 （同步练习）
【基础巩固】
1．A 2．C 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C
8．（0，-4） （-4，0） （1，0） 9．
10．＞ 11． 12． （提示：答案不惟一，如 等）
13．解：（1）设二次函数解析式为
二次函数图象过点 ， ，得 ．
二次函数解析式为 ，即 ．
（2）令 ，得 ，解方程，得 ， ．
二次函数图象与 轴的两个交点坐标分别为 和 ．
二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．
平移后所得图象与 轴的另一个交点坐标为 ．
【能力拓展】
14． P＜Q
15．解 （1）设 所在直线的函数解析式为 ，
∵ （2，4）， ∴ , ,
∴ 所在直线的函数解析式为
（2）①∵顶点M的横坐标为 ，且在线段 上移动，
∴ （0≤ ≤2）. ∴顶点 的坐标为( , ).
∴抛物线函数解析式为 .
∴当 时， （0≤ ≤2）.
∴点 的坐标是（2， ）
② ∵ = = ， 又∵0≤ ≤2，
∴当 时，PB最短.
（3）当线段 最短时，此时抛物线的解析式为
假设在抛物线上存在点 ，使 .
设点 的坐标为（ ， ）.
①当点 落在直线 的下方时，过 作直线 // ，交 轴于点 ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ， ∴ 点的坐标是（0， ）.
∵点 的坐标是（2，3），∴直线 的函数解析式为 .
∵ ，∴点 落在直线 上.
∴ = .
解得 ，即点 （2，3）.
∴点 与点 重合.
∴此时抛物线上不存在点 ，使△ 与△ 的
面积相等.
②当点 落在直线 的上方时，
作点 关于点 的对称称点 ，过 作直线 // ，交 轴于点 ，
∵ ，∴ ，∴ ． 的坐标分别是（0，1），（2，5），
∴直线 函数解析式为 .
∵ ，∴点 落在直线 上.
∴ = .
解得： ， .
代入 ，得 ， .
综上所述，抛物线上存在点 ，
使△ 与△ 的面积相等.
16．解：（1）由题意可知：经过 三点的抛物线的顶点是原点，
故可设所求抛物线的解析式为 ．
， 点坐标为 ．
在抛物线上， ，… ，
经过 三点的抛物线解析式是 ．
（2）左侧．
（3）由题意得：点 的坐标为 ，
抛物线过原点，故可设抛物线解析式为 ，
抛物线经过点 和点 ，
得 ， ．
抛物线对称轴必在 轴的左侧， ，而 ， ，
， ．
即当 时， ．
17．解：（1）设抛物线的解析式为： y＝a（x－m＋2）（x－m－2）＝a（x－m）2－4a．
∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB为等腰直角三角形，又AB＝4，
∴C（m， ）代入得a＝ ．∴解析式为：y＝ （x－m）2 ．
（亦可求C点，设顶点式）
（2）∵m为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y＝ （x－m）2 顶点在坐标原点．
（3）由（1）得D（0， m2 ），设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形．
∵△BOD为直角三角形，∴只能OD＝OB．
∴ m2－2＝|m＋2|，当m＋2＞0时，解得m＝4或m＝ （舍）．
当m＋2＜0时，解得m＝0（舍）或m＝ （舍）；
当m＋2＝0时，即m＝ 时，B．O．D三点重合（不合题意，舍）
综上所述：存在实数m＝4，使得△BOD为等腰三角形．
18．解：（1）B（1， ）
（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1, ），得 ，
因此
（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.
设直线AB为y=kx+b.所以 ，
因此直线AB为 ，
当x=－1时， ，
因此点C的坐标为（－1， ）.
（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.
当x=－ 时，△PAB的面积的最大值为 ，此时 .
数学思想方法(典型例题)
例1．解：（1）5000 甲
（2）设所求直线的解析式为：
y =kx+b(0≤x≤20)，
由图象可知：b=5000，当x=20时，y=0，
∴0=20k+5000，解得k= -250.
即y = -250x+5000 (0≤x≤20)
（3）当x=15时，y = -250x+5000= -250×15+5000=5000-3750=1250.
两人相距：(5000 -1250)-(5000-2000)=750（米）.
两人速度之差:750÷(20-15)=150（米/分）
例2．解：以A为圆心，OA为半径作圆交坐标轴得 和 ；以O为圆心，OA为半径作圆交坐标轴得 ， ， 和 ；作OA的垂直平分线交坐标轴得 和
例3．解：（1） （2）
（3）存在使四边形ABMN周长最短的点M．N，m= ，n= ．
例4．解：(1) (2 420+1 980)×13%=572
答: 可以享受政府572元的补贴.
(2) ①设冰箱采购x台，则彩电采购（40-x）台，根据题意，得
2 320x+1 900(40-x)≤85 000，
x≥ (40-x).
解不等式组，得 ≤x≤
∵x为正整数．
∴x= 19,20，21．
∴该商场共有3种进货方案：
方案一：冰箱购买19台，彩电购买21台
方案二：冰箱购买20台，彩电购买20台；
方案三：冰箱购买21台，彩电购买19台.
②设商场获得总利润y元，根据题意，得
y=(2 420 2 320)x+(1 980 40-x)=20x+3 200
∵20>0, ∴y随x的增大而增大
∴当x=21时，y最大=20×21+3 200=3 620
答：方案三商场获得利润最大，最大利润是3 620元
例5．（1）在△ABC中，∵ ， ， ．
∴ ，解得 ．
（2）①若AC为斜边，则 ，即 ，无解．
②若AB为斜边，则 ，解得 ，满足 ．
③若BC为斜边，则 ，解得 ，满足 ．∴ 或 ．
（3）在△ABC中，作 于D，设 ，△ABC的面积为S，则 ．
①若点D在线段AB上，
则 ．
∴ ，即 ．
∴ ，即 ．
∴ （ ）．
当 时（满足 ）， 取最大值 ，从而S取最大值 ．
②若点D在线段MA上，则 ．
同理可得，
（ ），易知此时 ．
综合①②得，△ABC的最大面积为 ．